Los Números de Hilbert

Igual que en el anterior post vimos cómo repercutía la composición de aplicaciones lineales sobre sus matrices asociadas, en este post lo que veremos es cómo se relacionan las matrices de aplicaciones lineales inversas. INVERSA DE UN ISOMORFISMO LINEAL Vamos a suponer que $E$ y $V$ son $K-$espacios vectoriales isomorfos, y que $T:E \longrightarrow V$ es un isomorfismo lineal (una aplicación lineal biyectiva). Consideramos también las bases $\mathcal{B}_E$ y $\mathcal{B}_V$ de $E$ y $V$ respectivamente. Por ser isomorfos, $E$ y $V$ tienen la misma dimensión, digamos $n \in \mathbb{N}.$ Ahora, sea $T^{-1}:V \longrightarrow E$ la aplicación (lineal) inversa de $T.$ Por ser inversas la una de la otra, se tiene: $$ T^{-1} \circ T = \text{id}_E \\ T \circ T^{-1}= \text{id}_V$$donde $\text{id}_E$ es la aplicación identidad en $E$ y lo mismo para $V.$ Tal y como vimos en el post anterior, lo que esto significa en términos de matrices es precisamente: $$\begin...

En los anteriores posts hemos estado investigando las aplicaciones lineales. Hemos visto cómo toda aplicación lineal tiene asociada una matriz, y lo que vamos a ver en este post es cómo se comportan las matrices de las aplicaciones lineales con la composición de dichas aplicaciones. Veremos también cómo podemos facilitarnos la vida con diagramas conmutativos. COMPOSICIÓN DE APLICACIONES LINEALES Y PRODUCTO DE MATRICES Supongamos que $E$ y $V$ son dos $K-$espacios vectoriales de dimensiones $n$ y $m$ respectivamente, con $n,m \in \mathbb{N}.$ Supongamos que $T: E \longrightarrow V$ es una aplicación lineal de $E$ en $V,$ y vamos a establecer un par de bases para estos espacios: $\mathcal{B}_E$ será una base de $E$ y $\mathcal{B}_V$ será una base de $V.$ $$ \begin{align*} \mathcal{B}_E &= \left\lbrace e_1, \ ... \ , e_n \right\rbrace \\ \mathcal{B}_V &= \left\lbrace v_1, \ ... \ , v_m \right\rbrace . \end{align*} $$Como $T$ es lineal, sabemos que ...

Para entender sobre qué va este post vas a necesitar saber lo que son los espacios vectoriales, sus bases, las aplicaciones lineales, el cambio de base y las matrices con entradas sobre un cuerpo. Lo que vamos a ver hoy es cómo toda aplicación lineal entre espacios vectoriales tiene asociada una matriz según las bases de dichos espacios, de manera que vamos a poder tratar a las aplicaciones lineales y a las matrices de manera muy parecida. APLICACIONES LINEALES Y MATRICES Vamos a suponer que $E$ y $V$ son dos $K-$espacios vectoriales, de dimensiones $n$ y $m$ respectivamente, y $T:E \longrightarrow V$ es una aplicación lineal entre ambos espacios. Podemos establecer que $\mathcal{B}_E$ y $\mathcal{B}_V$ sean bases de $E$ y $V$ respectivamente, formadas por los vectores: $$\begin{align*} \mathcal{B}_E &= \left\lbrace e_1, \ ... \ , e_n \right\rbrace \\ \mathcal{B}_V &= \left\lbrace v_1, \ ... \ , v_m \right\rbrace . \end{align*}$$La imagen de un v...