Los Números de Hilbert

En este post vamos a comenzar una colección relacionada con el cálculo en una variable. Vamos a ver algunos objetos que podemos considerar en el conjunto de números reales y vamos a ir aprendiendo a utilizarlos y ver cómo detrás de cada elemento matemático siempre hay una razonamiento relativamente "simple". LA RECTA REAL Ya hemos hablado anteriormente de cómo los números reales son el primer conjunto que se nos viene a la cabeza y del cual podemos pensar que " no deja huecos " cuando lo representamos gráficamente. Es decir, si pensamos en poner cada número en un punto de una línea recta (de menor a mayor), entonces este conjunto es el primero que llena la recta entera sin dejar huecos. Para esto es esencial la propiedad del supremo , de la cual ya hablamos en el anterior post. Lo que veremos ahora son algunas propiedades algebraicas de $\mathbb{R},$ la función valor absoluto y cómo $\mathbb{R}$ es un espacio métrico, que le otorga una serie de propiedades ...

El conjunto de los números reales tiene montones de propiedades que hacen que trabajar con él sea muy conveniente. El análisis real es una rama de las matemáticas que se dedica a estudiar lo que ocurre con los números reales (y con los objetos con los que están relacionados). Dentro de esta rama es donde se estudian las derivadas y las integrales que a todos nos suenan. Lo que vamos a ver hoy es una propiedad de los números reales que va a sernos especialmente útil cuando hablemos de sucesiones y de límites, la propiedad del supremo , que dice que en $\mathbb{R}$ todo conjunto acotado superiormente (resp. inferiormente) tiene supremo (resp. ínfimo). CONJUNTOS ACOTADOS La noción de lo que son los conjuntos acotados en $\mathbb{R}$ es bastante intuitiva. Diremos que $S\subset \mathbb{R}$ está acotado superiormente si hay algún número real que sea mayor que todo número de $S.$ Es decir, si $\exists \ r  \in \mathbb{R}: \ \forall s \in S, \ s\leq r.$ De forma similar, diremos ...

Este es el primero en una serie de problemas que iremos proponiendo y resolviendo en el blog (para animar a la gente a que los intente y para ver aplicaciones y argumentos matemáticos frente a los problemas). ENUNCIADO ¿Cuál es el mínimo número de personas necesarias para que la probabilidad de que al menos dos de ellas cumplan años el mismo día sea mayor que el $50\%$? SOLUCIÓN Podemos pensar en cuál es la probabilidad de que $n$ personas tengan $n$ cumpleaños distintos, y darnos cuenta de que el suceso opuesto es precisamente lo que nos están preguntando, de manera que basta ver cuál es el número $n$ para el que la probabilidad del suceso $X=$"$n$ personas cumplen años en distintos días" sea menor del $50\%$. Hagamos los cálculos: Nombrando al suceso $X_i=$"la $i$-ésima persona cumple años distinto día que el resto de las anteriores", se tiene que $P(X)=\prod_{i=2}^n P(X_i|X_{i-1}),$ considerando que $P(X_1)=1.$ $$\begin{align*} P(X_2|X_1)...

Hasta ahora hemos estado hablando sobre conjuntos y en particular sobre los conjuntos de números naturales, enteros, racionales y reales. Llegados a este punto es natural pensar en las operaciones que conocemos en esos conjuntos, e intentar generalizarlas a conjuntos distintos. En esencia una operación es una regla que dados dos elementos de un conjunto, devuelve otro de ese mismo conjunto. Es importante darse cuenta de que la operación debe definirse en base al conjunto con el que estemos trabajando. Es decir, no vamos a sumar perros con números naturales, ni multiplicar funciones con números racionales. Motivado por esto, vamos a definir una operación en un conjunto $X$ como una función de la forma: $$\begin{align*}\varphi : \ \  & \ X  \times  X \longrightarrow X \\ & (x_1, x_2) \mapsto \varphi (x_1,x_2) \end{align*}$$Para nosotros esta va a ser la definición de operación. En algunos contextos esto se conoce como operación binaria, ya que únicamente opera...

En matemáticas hay varias formas de demostrar resultados. Entre ellas se  encuentran la demostración por reducción al absurdo, que consiste en suponer lo contrario a lo que quieres demostrar y llegar a una contradicción; la demostración por el contrapositivo, que se utiliza cuando el objetivo es demostrar una implicación, $p \Longrightarrow q,$ y consiste en demostrar $\neg q \Longrightarrow \neg p,$ que es equivalente; la demostración directa, que consiste en llegar a demostrar lo que quieres partiendo directamente de las hipótesis; etc. Un caso particular es cuando queremos demostrar una afirmación sobre todos los números naturales (o relacionada con ellos) a partir de uno en particular. En este caso se puede intentar utilizar la inducción, que nos permite demostrar dicha afirmación si conseguimos comprobar un par de condiciones: Para cierto $n_1 \in \mathbb{N}$ la afirmación es cierta. Si la afirmación es cierta para $n$ entonces lo es también para $n+1.$ La primera condi...

Recordemos lo que vimos en el anterior post : $\mathbb{N}, \ \mathbb{Z}$ y $\mathbb{Q}$ son los tres numerables : los tres son infinitos y tienen el mismo cardinal (son equipotentes), el mismo "número de elementos", el infinito más pequeño. En particular, que $\mathbb{Q}$ sea numerable es especialmente llamativo, ya que es denso en $\mathbb{R}$ (no hemos visto todavía lo que es ser denso, pero intuitivamente podemos hacernos una idea: si tomamos cualquier intervalo en la recta real, siempre hay algún racional ahí metido; o podemos pensar que entre dos números reales siempre hay otro racional). También vimos que $\mathbb{R}$ no era numerable, que tenía "muchos más elementos" que los anteriores tres, es mucho más infinito que ellos. Hoy vamos a ver cómo podemos operar con los conjuntos numerables y darnos cuenta de cómo podemos construir conjuntos infinitos cada vez más grandes. EL INFINITO NUMERABLE Motivado por lo visto en el post anterior, podemos plan...

Antes de empezar a hablar del infinito vamos a recordar cuándo dos conjuntos tienen el mismo cardinal. Hemos visto que dos conjuntos $A$ y $B$ tienen el mismo cardinal (mismo número de elementos) si podíamos encontrar una función $f:A \longrightarrow B$ biyectiva (inyectiva y sobreyectiva), es decir, una función que identifica (de forma biunívoca) cada elemento de $A$ con un elemento de $B.$ Denotaremos el cardinal de un conjunto $A$ a lo largo del post como $|A|$ o $Card(A).$ EL INFINITO DE LOS NATURALES El ejemplo de infinito más accesible quizá sea el de los números naturales $\left(\mathbb{N}=\left\lbrace 1,2,3, \ ... \right\rbrace \right).$ Este conjunto es infinito, lo cual es fácil de ver: si fuera finito, podríamos decir que hay un número natural mayor que todos los demás, digamos $n.$ Sin embargo, sabemos que $n+1$ es natural si $n$ es natural, y $n+1>n,$ de modo que habríamos llegado a que $n$ no es la cota superior que habíamos establecido: hemos llegado a una contr...

Una paradoja es una idea que va en contra de la intuición, bien sea porque es contradictoria o porque aparenta serlo (aunque en realidad no lo sea). Aquí puedes ver una clasificación de los tipos de paradojas. La que veremos hoy (quizá una de las más importantes) es la paradoja de Russell, conocida así en honor al matemático y lógico británico, Bertrand Russell , a quien se atribuye su publicación a principios del siglo XX. La paradoja suele enunciarse de dos formas. La primera es mediante el enunciado del barbero, y la segunda es enunciada formalmente en lenguaje de teoría de conjuntos. El enunciado del barbero (simplificado) dice algo así: En un pueblo está establecida una regla que dice: "únicamente aquellas personas que no se afeiten a sí mismas serán afeitada por un barbero". En el pueblo, sin embargo, hay únicamente un barbero, lo cual le supone un problema, pues si el barbero se afeitase a si mismo, entonces no sería afeitado por el barbero, es decir por si m...

En este post vamos a continuar hablando de conjuntos . Toda la notación está explicada en el post de Conjuntos I (enlace anterior), y la notación de lógica proposicional se explica más adelante. De cualquier manera no es pesada (son $2$ ó $3$ conceptos) y la puedes consultar en wikipedia . Ahora veamos cómo podemos hacer ciertas operaciones elementales con los conjuntos. UNIONES E INTERSECCIONES Supongamos que tenemos dos conjuntos, $A$ y $B$, y queremos considerar un conjunto $C$ cuyos elementos sean los elementos de $A$ y los de $B$  todos juntos. Es decir, podríamos pensar en ese conjunto como el más pequeño que contiene a $A$ y a $B$: $A \subset C$ y $B\subset C$. Diremos que $C$ es la unión  de $A$ y $B: \ C=A\cup B,$ y $x \in A\cup B \Longleftrightarrow x \in A$ ó $x \in B.$ $$ A\cup B = \left\lbrace x: \ x \in A \vee x \in B \right\rbrace.$$Aquí $\vee$ es un símbolo en el lenguaje de la lógica proposicional que indica disyunción no excluyente (es un "o" no exc...

En el post anterior vimos lo que eran las relaciones de orden y de equivalencia, y en particular vimos cuál era la relación de orden $\leq_C$ y la relación de equivalencia $=_C.$ Si no lo has leído todavía, quizá te sirva para entender mejor lo que vamos a discutir a continuación. Hoy veremos la interpretación del problema del hotel de Hilbert. LOS NÚMEROS NATURALES Ya hemos visto  cómo podemos hacer para contar elementos de un conjunto finito cualquiera. Ahora vamos a querer contar los infinitos. El primer conjunto infinito que nos debe sonar es el de los números naturales: $\mathbb{N}=\left\lbrace 1, 2, 3, \ ... \right\rbrace$. Normalmente se denota a su cardinal por $Card(\mathbb{N})=\aleph_0$, y pensándolo en términos "numéricos", diríamos $Card(\mathbb{N})=\infty$, puesto que hay infinitos números naturales. Sin embargo no todos los infinitos son iguales, y si conseguimos encontrar un conjunto $A$ cuyo cardinal sea mayor que el de $\mathbb{N}$, desde l...