Los Números de Hilbert

En el post anterior vimos cuáles eran las condiciones necesarias (y suficientes) para poder invertir una matriz, esto es, para encontrar la matriz inversa de una matriz. A las matrices para las cuales existe una matriz inversa se llaman matrices invertibles. Lo que vamos a ver en este post es cómo utilizar el método de eliminación de Gauss para encontrar la matriz inversa de una matriz invertible. RANGO Hemos definido el rango de una matriz como la cantidad de vectores linealmente independientes que generan la imagen de la aplicación lineal asociada. Es decir, como la cantidad de vectores columna linealmente independientes de la matriz. Sin embargo podíamos haber definido esto como el rango por columnas, y a la cantidad de vectores linealmente independientes de las filas podríamos haberlo definido como el rango por filas. Lo cierto es que ambos conceptos resultan en el mismo número, es decir, el rango por columnas y el rango por filas coinciden. Esto es ...

Igual que en el anterior post vimos cómo repercutía la composición de aplicaciones lineales sobre sus matrices asociadas, en este post lo que veremos es cómo se relacionan las matrices de aplicaciones lineales inversas. INVERSA DE UN ISOMORFISMO LINEAL Vamos a suponer que $E$ y $V$ son $K-$espacios vectoriales isomorfos, y que $T:E \longrightarrow V$ es un isomorfismo lineal (una aplicación lineal biyectiva). Consideramos también las bases $\mathcal{B}_E$ y $\mathcal{B}_V$ de $E$ y $V$ respectivamente. Por ser isomorfos, $E$ y $V$ tienen la misma dimensión, digamos $n \in \mathbb{N}.$ Ahora, sea $T^{-1}:V \longrightarrow E$ la aplicación (lineal) inversa de $T.$ Por ser inversas la una de la otra, se tiene: $$ T^{-1} \circ T = \text{id}_E \\ T \circ T^{-1}= \text{id}_V$$donde $\text{id}_E$ es la aplicación identidad en $E$ y lo mismo para $V.$ Tal y como vimos en el post anterior, lo que esto significa en términos de matrices es precisamente: $$\begin...

En los anteriores posts hemos estado investigando las aplicaciones lineales. Hemos visto cómo toda aplicación lineal tiene asociada una matriz, y lo que vamos a ver en este post es cómo se comportan las matrices de las aplicaciones lineales con la composición de dichas aplicaciones. Veremos también cómo podemos facilitarnos la vida con diagramas conmutativos. COMPOSICIÓN DE APLICACIONES LINEALES Y PRODUCTO DE MATRICES Supongamos que $E$ y $V$ son dos $K-$espacios vectoriales de dimensiones $n$ y $m$ respectivamente, con $n,m \in \mathbb{N}.$ Supongamos que $T: E \longrightarrow V$ es una aplicación lineal de $E$ en $V,$ y vamos a establecer un par de bases para estos espacios: $\mathcal{B}_E$ será una base de $E$ y $\mathcal{B}_V$ será una base de $V.$ $$ \begin{align*} \mathcal{B}_E &= \left\lbrace e_1, \ ... \ , e_n \right\rbrace \\ \mathcal{B}_V &= \left\lbrace v_1, \ ... \ , v_m \right\rbrace . \end{align*} $$Como $T$ es lineal, sabemos que ...

Para entender sobre qué va este post vas a necesitar saber lo que son los espacios vectoriales, sus bases, las aplicaciones lineales, el cambio de base y las matrices con entradas sobre un cuerpo. Lo que vamos a ver hoy es cómo toda aplicación lineal entre espacios vectoriales tiene asociada una matriz según las bases de dichos espacios, de manera que vamos a poder tratar a las aplicaciones lineales y a las matrices de manera muy parecida. APLICACIONES LINEALES Y MATRICES Vamos a suponer que $E$ y $V$ son dos $K-$espacios vectoriales, de dimensiones $n$ y $m$ respectivamente, y $T:E \longrightarrow V$ es una aplicación lineal entre ambos espacios. Podemos establecer que $\mathcal{B}_E$ y $\mathcal{B}_V$ sean bases de $E$ y $V$ respectivamente, formadas por los vectores: $$\begin{align*} \mathcal{B}_E &= \left\lbrace e_1, \ ... \ , e_n \right\rbrace \\ \mathcal{B}_V &= \left\lbrace v_1, \ ... \ , v_m \right\rbrace . \end{align*}$$La imagen de un v...

En el post anterior definimos lo que eran las aplicaciones lineales: $\text{Def.}$ Dados $V$ y $W$ $K-$espacios vectoriales y $T: V \longrightarrow W$ una aplicación de $V$ en $W,$ decimos que $T$ es lineal si: $T(u+v)=T(u)+T(v)$ para todo $u,v \in V.$ $T(\lambda u) = \lambda T(u)$ para todo $\lambda \in K, \ u \in V.$ y estuvimos discutiendo sobre las aplicaciones lineales biyectivas, los isomorfismos lineales . También vimos cómo hacer el cambio de base en un espacio vectorial (de dimensión finita). Lo que vamos a ver hoy es que todas las aplicaciones lineales definen unos sub-espacios particulares y estos caracterizan algunas de las cualidades de las aplicaciones. Además, tanto la imagen como la preimagen de un sub-espacio vectorial por una aplicación lineal son sub-espacios vectoriales. $\text{Prop.}$ Sean $E, V$ dos $K-$espacios vectoriales, $T:E \longrightarrow V$ una aplicación lineal de $E$ en $V$ y $F \subset E$ y $...

Recapitulemos un poco antes de comenzar: hemos visto que todo espacio vectorial tiene una base , e.d. un conjunto de vectores linealmente independientes que lo generan. También hemos visto que podemos representar cada vector del espacio mediante sus coordenadas respecto de una base , y que estas pueden ser distintas en función de la base que tomemos. Habíamos dejado planteadas algunas cuestiones sin resolver, como cómo operar con coordenadas y cómo hacer el cambio de coordenadas en función de qué base tomemos. En el post de hoy vamos a resolver estas cuestiones, para lo cual hablaremos de las aplicaciones lineales y de la matriz de cambio de base. APLICACIONES LINEALES En matemáticas, una vez definida una estructura, lo normal es preguntarse cómo pueden ser las aplicaciones entre ese tipo de estructura. El ejemplo que conocemos por ahora es el de aplicaciones entre conjuntos . Las aplicaciones entre dos conjuntos que respetan la estructura de con...

En el post Base, Estructura y Dimensión de un Espacio Vectorial  vimos que todo espacio vectorial tiene una base: un conjunto de vectores linealmente independientes que generan el espacio. Por esta razón, todos los elementos de un espacio vectorial pueden expresarse como combinación lineal de los elementos de la base. Además definimos la dimensión del espacio como el cardinal de una base, y vimos (y demostramos) que esta definición tiene sentido dado que si encontramos dos bases distintas para el mismo espacio vectorial, ambas tienen el mismo cardinal (en el caso finito; en el caso infinito es necesario utilizar inducción transfinita  para demostrar que dos bases tienen el mismo cardinal y por tanto no lo demostraremos). Lo que vamos a hacer en este post es ver cómo podemos expresar cada vector mediante coordenadas relativas a una base del espacio, y cómo estas cambian en función de la base que escojamos. COORDENADAS Vamos a suponer que tenemo...