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En esta página están recopilados todos los problemas publicados en el blog en orden de dificultad.

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Frecuentes

Aplicaciones Lineales, Isomorfismos y Cambio de Base

Recapitulemos un poco antes de comenzar: hemos visto que todo espacio vectorial tiene una base , e.d. un conjunto de vectores linealmente independientes que lo generan. También hemos visto que podemos representar cada vector del espacio mediante sus coordenadas respecto de una base , y que estas pueden ser distintas en función de la base que tomemos. Habíamos dejado planteadas algunas cuestiones sin resolver, como cómo operar con coordenadas y cómo hacer el cambio de coordenadas en función de qué base tomemos. En el post de hoy vamos a resolver estas cuestiones, para lo cual hablaremos de las aplicaciones lineales y de la matriz de cambio de base. APLICACIONES LINEALES En matemáticas, una vez definida una estructura, lo normal es preguntarse cómo pueden ser las aplicaciones entre ese tipo de estructura. El ejemplo que conocemos por ahora es el de aplicaciones entre conjuntos . Las aplicaciones entre dos conjuntos que respetan la estructura de con...
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Recurrencias Lineales no Homogéneas

En el anterior post vimos cómo resolver recurrencias lineales de la forma: $$\begin{align} a_n=B_1 a_{n-1} + \ ... \ + B_{k}a_{n-k}\end{align} $$con $B_j \in \mathbb{R}$ y $B_k \neq 0.$ Es decir, vimos cómo es posible dar una fórmula explícita para $a_n$ que únicamente dependa de $n.$ Estas son las llamadas recurrencias lineales homogéneas. En este post vamos a intentar generalizar y dar una solución explícita para recurrencias que tienen la forma: $$ \begin{align} a_n=B_1 a_{n-1} + \ ... \ + B_{k}a_{n-k} + f(n)\end{align} $$donde $f$ es una función de $\mathbb{N}$ a $\mathbb{R}$ no nula (el caso en el que $f \equiv 0$ es el caso homogéneo que hemos tratado en el anterior post). Estas últimas se conocen como recurrencias lineales no homogéneas. Además en ambos casos los coeficientes $B_j\in \mathbb{R}$ son constantes. Si fueran funciones que dependen de $n$ el tema se complicaría más y no vamos a tratar esos casos por ahora. Por los mismos motivos que en el post anterior, vamos a...
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Relaciones de Orden y de Equivalencia

Vamos a introducir el concepto de lo que es una relación de equivalencia y después veremos lo que es una relación de orden. (La palabra $\text{Def}$ introducirá siempre una nueva definición y $\text{Obs}$ denotará una observación). El post de hoy es un poco más técnico, pero no es difícil de comprender, sobre todo si te animas a coger un papel y un lápiz y comprobar que lo que vamos a ir haciendo tiene sentido. Este tipo de herramientas son de las más básicas en matemáticas y por eso no conviene reducirlas a meros comentarios, puesto que entonces muchos desarrollos carecerían de sentido. Así que no te asustes, y pongámonos manos a la obra. RELACIONES DE EQUIVALENCIA $\text{Def.}$ Dado un conjunto , $X$, una relación de equivalencia, $R$, es una relación binaria en $X$ (relaciona un par de elementos de $X$, digamos $x$ e $y,$ y se lee $xRy:$ $x$ está relacionado con $y$), que cumple las siguientes tres propiedades: Reflexiva:  todo elemento de $X$ está relacionado consigo m...
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El Teorema del Sándwich

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En el post anterior vimos lo que eran las sucesiones de números reales, los límites de estas y dejamos planteadas algunas preguntas que iremos respondiendo a lo largo de los siguientes posts. Lo que veremos hoy son varios resultados sobre sucesiones de números reales que pueden resultar interesantes e intuitivos y distintos ejemplos de cómo calcular límites de sucesiones utilizando estos resultados. PROPIEDADES DE LOS LÍMITES En el anterior post terminamos hablando de cómo los límites se comportan bien con las operaciones que conocemos en $\mathbb{R},$ pero no demostramos el resultado. Lo que haremos a continuación es investigar un poco una idea que nos va a ayudar a demostrarlo. Vamos a suponer que tenemos dos sucesiones. Una de ellas es constante: $\left\lbrace c_n \right\rbrace_{n=1} ^ \infty, \ \ c_n = c \ \ \forall n \in \mathbb{N}$ para cierto $0<c\in \mathbb{R}$ un número real fijo, y la otra sucesión converge a $0:$  $\left\lbrace a_n \right\rbrace_{n=1}^...
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Aplicaciones y Cardinales

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APLICACIONES Y FUNCIONES Si acabas de llegar al blog, esta entrada está muy relacionada con la anterior: conjuntos , de modo que leerla te ayudaría a comprender lo que vamos a discutir a continuación. En matemáticas, dados dos conjuntos (digamos $X$ e $Y$), una aplicación de $X$ en $Y$ es una regla que a cada elemento de $X$ le asigna un elemento de $Y$. Digamos que nuestra aplicación se llama $f$, entonces lo denotamos así: $f:X \longrightarrow Y$. La noción de aplicación es muy natural, y no es difícil pensar en ejemplos de aplicaciones: de hecho uno muy habitual es tomando $X=\left\lbrace \text{productos de un supermercado} \right\rbrace$ e $Y=\left\lbrace \text{precios de dichos productos en ese supermercado} \right\rbrace$. Definiendo la aplicación $f:X \longrightarrow Y$ que manda cada producto que puedes comprar en su precio, tenemos una aplicación. Por ejemplo, $f$ lleva una pera en su precio (en ese mercado). En general, si $x$ es un elemento de $X$, e $y$ es...
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