Los Números de Hilbert

Un teorema muy famoso en matemáticas es el Principio del Palomar . Su enunciado puede reducirse a términos comprensibles por todo el mundo y parece muy intuitivo y lógico. Además proporciona maravillosos resultados sorprendentes para los ojos de cualquiera que no sepa el razonamiento que hay detrás. Pues bien, el teorema viene a decir algo así como: Si se distribuyen $n$ palomas en $m$ palomares y $n>m$ entonces hay un palomar que alberga dos o más palomas. Es lógico, ¿verdad?, la peor situación es aquella en la que en cada palomar haya una paloma, pero aún así al haber más palomas que palomares tiene que sobrar al menos una paloma, y al meterla en algún otro palomar, al ya albergar a otra paloma, tendrá ahora dos. Parece que es comprensible. Ahora veamos brevemente el enunciado en términos matemáticos y su demostración. $\text{Teorema (Principio del Palomar).}$ Sean $X$ e $Y$ dos conjuntos finitos con $|X|>|Y|.$ Entonces no existe ninguna función inyectiva de $X$ en $Y....

Este post estará relacionado con el anterior , donde vimos algunas técnicas de conteo básicas. Hoy veremos cómo podemos ampliar un poco más nuestros conocimientos mediante nuevas técnicas. EL COMPLEMENTARIO Vamos a suponer que tenemos un conjunto, $X,$ que conocemos y del que conocemos su número de elementos, su cardinal. Ahora queremos saber cuántos elementos hay en un subconjunto $A\subset X.$ Una de las formas de hacerlo es mediante el conjunto complementario de $A,$ el conjunto $X\setminus A$ formado por todos los elementos de $X$ que no están en $A.$ $\text{Lema (Cardinal del Complementario).}$ Sean $X$ y $A$ dos conjuntos finitos tales que $A\subset X.$ Entonces $\left| A \right|=\left| X \right| - \left| X\setminus A \right|.$ Demostración (Cardinal del Complementario) La demostración es fácil. Por definición, $A\cap (X\setminus A)=\emptyset,$ y por tanto $X=A\uplus (X\setminus A)$ y la unión es disjunta, luego tomando cardinales obtenemos $\left| X \righ...

Aprender a contar es todo un reto en matemáticas, un arte. Analizar cuántos elementos hay que cumplan ciertas propiedades no es fácil en muchos casos, y es muy fácil equivocarse contando. Lo que se nos enseña en la escuela está muy bien cuando manejamos cosas pequeñas o conjuntos cotidianos, pero en cuanto uno se empieza a interesar por las cosas complicadas y grandes se da cuenta de que las reglas que rigen las maneras de contar son mucho más complejas de lo que parecen. Muchas veces para hallar cantidades es necesario reconocer patrones y enumerar elementos, y para eso sirve una rama de las matemáticas conocida como la combinatoria. A lo largo de una serie de posts iremos explicando e investigando las reglas de la combinatoria. Podemos empezar pensando en el trabajo que ya tenemos adelantado. Hemos visto en anteriores posts cuándo los cardinales (el número de elementos) de dos conjuntos son comparables y cómo compararlos. Recordemos que si tenemos dos conjuntos, $A$ y $B,$ sus ca...

En anteriores posts vimos cómo $\mathbb{N}$ y $\mathbb{Q}$ tenían el mismo cardinal y como consecuencia hay tantos número naturales como enteros: una cantidad numerable. Sin embargo hay algo fundamental que diferencia a ambos conjuntos. Esto es que en los números reales, $\mathbb{Q}$ es denso, mientras que $\mathbb{N}$ no lo es. Lo que quiere decir esto es que dados dos números reales cualesquiera, entre ellos siempre vamos a poder encontrar un número racional. Esto no ocurre con los naturales: por ejemplo, entre $\frac{1}{2}$ y $\frac{1}{3}$ no hay ningún número natural. A primera vista es increíble que esto se cumpla sabiendo que hay tantos números racionales como naturales, no parece posible: podemos adentrarnos tan profundamente en cada intervalo de la recta real y aún así siempre habrá racionales ahí metidos. De hecho siempre habrá infinitos racionales ahí metidos. Por un momento supongamos que esto es así (sin demostrarlo). Entonces, si tenemos en cuenta la propiedad del sup...