Los Números de Hilbert

Este post está ampliamente relacionado con los dos anteriores: El Teorema del Sándwich y Límites de Sucesiones . Lo que vamos a discutir ahora es la segunda cuestión que nos planteamos en el primero de esos dos posts: qué ocurre cuando la sucesión que queremos estudiar es siempre creciente o siempre decreciente. Esto viene motivado por la idea de que si una sucesión es siempre creciente y además es acotada: todos los términos de la sucesión son menores que cierto $M \in \mathbb{R},$ entonces tiene sentido pensar que la sucesión va a ser convergente, pues crecerá todo lo posible pero nunca podrá pasar por encima de $M.$ Para entender bien lo que estamos viendo intuitivamente vamos a realizar una serie de observaciones (algunas de ellas ya mencionadas en el anterior post ) e intentar formular correctamente y demostrar lo que hemos planteado al principio. DESIGUALDADES Para empezar, vamos a ver que si la sucesión que nos interesa está acotada, entonces su límite es menor que...

En el post anterior vimos lo que eran las sucesiones de números reales, los límites de estas y dejamos planteadas algunas preguntas que iremos respondiendo a lo largo de los siguientes posts. Lo que veremos hoy son varios resultados sobre sucesiones de números reales que pueden resultar interesantes e intuitivos y distintos ejemplos de cómo calcular límites de sucesiones utilizando estos resultados. PROPIEDADES DE LOS LÍMITES En el anterior post terminamos hablando de cómo los límites se comportan bien con las operaciones que conocemos en $\mathbb{R},$ pero no demostramos el resultado. Lo que haremos a continuación es investigar un poco una idea que nos va a ayudar a demostrarlo. Vamos a suponer que tenemos dos sucesiones. Una de ellas es constante: $\left\lbrace c_n \right\rbrace_{n=1} ^ \infty, \ \ c_n = c \ \ \forall n \in \mathbb{N}$ para cierto $0<c\in \mathbb{R}$ un número real fijo, y la otra sucesión converge a $0:$  $\left\lbrace a_n \right\rbrace_{n=1}^...

SUCESIONES El concepto de sucesión en matemáticas es muy parecido a lo que uno podría pensar: intuitivamente es un conjunto de números que podemos poner en orden. Por ejemplo: $1,2,3,4,5, \ ...$ podría ser una sucesión. Otro ejemplo que quizá se nos viene a la cabeza es: $1,3,5,7, \ ...$ o quizás $2,4,6,8, \ ...$ Ambas son sucesiones. Sin embargo una sucesión no tiene por qué seguir un patrón: también esta es una sucesión $4, 7, 3.3, 8.55, 6, 178, \ ...$ Además en este último ejemplo no hemos tomado solamente números naturales, sino que hemos permitido números racionales también. Quizá el lector más avispado se haya dado cuenta de que cuando tratamos con una sucesión conviene decir en qué conjunto estamos trabajando, y esta idea sirve para pensar que en realidad podemos hacer sucesiones de cualquier cosa (en cualquier conjunto) siempre que podamos tomar elementos de ese conjunto y numerarlos (hacer una lista con ellos). Por todo esto en matemáticas una sucesión en un conjunto ...