Los Números de Hilbert

En el post anterior definimos lo que eran las aplicaciones lineales: $\text{Def.}$ Dados $V$ y $W$ $K-$espacios vectoriales y $T: V \longrightarrow W$ una aplicación de $V$ en $W,$ decimos que $T$ es lineal si: $T(u+v)=T(u)+T(v)$ para todo $u,v \in V.$ $T(\lambda u) = \lambda T(u)$ para todo $\lambda \in K, \ u \in V.$ y estuvimos discutiendo sobre las aplicaciones lineales biyectivas, los isomorfismos lineales . También vimos cómo hacer el cambio de base en un espacio vectorial (de dimensión finita). Lo que vamos a ver hoy es que todas las aplicaciones lineales definen unos sub-espacios particulares y estos caracterizan algunas de las cualidades de las aplicaciones. Además, tanto la imagen como la preimagen de un sub-espacio vectorial por una aplicación lineal son sub-espacios vectoriales. $\text{Prop.}$ Sean $E, V$ dos $K-$espacios vectoriales, $T:E \longrightarrow V$ una aplicación lineal de $E$ en $V$ y $F \subset E$ y $...

Recapitulemos un poco antes de comenzar: hemos visto que todo espacio vectorial tiene una base , e.d. un conjunto de vectores linealmente independientes que lo generan. También hemos visto que podemos representar cada vector del espacio mediante sus coordenadas respecto de una base , y que estas pueden ser distintas en función de la base que tomemos. Habíamos dejado planteadas algunas cuestiones sin resolver, como cómo operar con coordenadas y cómo hacer el cambio de coordenadas en función de qué base tomemos. En el post de hoy vamos a resolver estas cuestiones, para lo cual hablaremos de las aplicaciones lineales y de la matriz de cambio de base. APLICACIONES LINEALES En matemáticas, una vez definida una estructura, lo normal es preguntarse cómo pueden ser las aplicaciones entre ese tipo de estructura. El ejemplo que conocemos por ahora es el de aplicaciones entre conjuntos . Las aplicaciones entre dos conjuntos que respetan la estructura de con...

En el post Base, Estructura y Dimensión de un Espacio Vectorial  vimos que todo espacio vectorial tiene una base: un conjunto de vectores linealmente independientes que generan el espacio. Por esta razón, todos los elementos de un espacio vectorial pueden expresarse como combinación lineal de los elementos de la base. Además definimos la dimensión del espacio como el cardinal de una base, y vimos (y demostramos) que esta definición tiene sentido dado que si encontramos dos bases distintas para el mismo espacio vectorial, ambas tienen el mismo cardinal (en el caso finito; en el caso infinito es necesario utilizar inducción transfinita  para demostrar que dos bases tienen el mismo cardinal y por tanto no lo demostraremos). Lo que vamos a hacer en este post es ver cómo podemos expresar cada vector mediante coordenadas relativas a una base del espacio, y cómo estas cambian en función de la base que escojamos. COORDENADAS Vamos a suponer que tenemo...

En este post vamos a hablar de las matrices. También hablaremos de la estructura de los espacios de matrices, de manera que llegados a ese punto del post quizá convenga echarle un vistazo a los otros tres posts sobre espacios vectoriales: Espacios Vectoriales , Sistemas Libres y Generadores y Base, Dimensión y Estructura de un Espacio Vectorial  si es que el lector aún no los conoce. LAS MATRICES Normalmente aparecen por primera vez en la asignatura de matemáticas de segundo de bachillerato. No suele explicarse bien lo que son y al nivel al que se dan las matemáticas en bachillerato tampoco se les puede dar una interpretación intuitiva o significativa de manera que el alumno se haga una idea clara. Parece que cuando se nos presentan son simplemente unos "bloques" de números que amenazan con llevarse por delante la asignatura. Lo cierto es que las matrices tienen muchísimos usos en matemáticas: pueden representar ciertos tipos de aplicaci...

Para seguir este post es conveniente conocer los conceptos que hemos tratado en los dos posts anteriores sobre espacios vectoriales: Espacios Vectoriales , donde definimos lo que era un espacio vectorial , un sub-espacio vectorial y vimos algunos ejemplos; y Sistemas Libres y Generadores , donde vimos qué era un generador, el espacio generado por un conjunto de vectores, definimos el concepto de independencia lineal y vimos qué eran los sistemas libres. En particular los conceptos de espacio generado por un conjunto de vectores e independencia lineal van a ser clave a lo largo de este post. EL MENOR SUB-ESPACIO Vamos a comenzar respondiendo a una pregunta que puede resultar interesante. Dado $E$ un $K-$espacio vectorial y $v \in E$ un vector, ¿cuál es el menor sub-espacio $F\subset E$ que contiene a $v$? Para ser sub-espacio, $F$ debe contener al conjunto $\left\lbrace \lambda v : \lambda \in K \right\rbrace$ sin duda. Tal y como vimos ayer, ese...