Los Números de Hilbert

Tenemos un triángulo equilátero de vértices $A,B,C.$ Sea $D$ un punto cualquiera interior al triángulo y sean $d_1,d_2,d_3$ las distancias desde $D$ a cada uno de los lados del triángulo. Demuestra que: $$d_1+d_2+d_3 = h$$donde $h$ es la altura del triángulo. Este resultado se conoce como $\text{Teorema de Viviani.}$ SOLUCIÓN Los segmentos que unen $D$ con cada uno de los vértices del triángulo dividen a este en $3$ triángulos más pequeños, de manera que el área del triángulo equilátero es la suma de las áreas de los triángulos pequeños. Utilizando la fórmula para el área de cada uno de los triángulos, y teniendo en cuenta que $d_1,d_2$ y $d_3$ son las alturas de los triángulos pequeños, si $l$ es la longitud del lado del triángulo equilátero: $$ \frac{l d_1}{2} +\frac{l d_2}{2}+\frac{l d_3}{2}=\frac{l h}{2}$$y se llega a: $$ d_1 + d_2 + d_3 = h.$$

GENERADORES Vamos a continuar hablando de espacios vectoriales, de manera que si no lo has hecho, igual te interesa echarle un vistazo al post anterior . Vamos a considerar $E$ un $K-$espacio vectorial. Si recordamos un poco en qué consistía un espacio vectorial, podemos pensar que es un conjunto, $E,$ donde se permiten la suma y la multiplicación por escalares (elementos de $K$). Denotaremos con letras griegas a los escalares y con letras latinas a los vectores, como venimos haciendo hasta ahora. Con esto es razonable pensar cómo se comporta un vector (un elemento de $E$) cuando lo multiplicamos por un escalar (un elemento de $K$). Sabemos que el resultado de esa operación es otro vector de $E,$ así que podríamos considerar el conjunto de vectores que resultan del producto del vector por todos los escalares de $K:$ $F_v=\left\lbrace \lambda v: \lambda \in K \right\rbrace$ dado cierto $v \in E.$ Cada $v$ tiene un conjunto así, y si $v_1=v_2$ entonces $...