Los Números de Hilbert

Silvia y Mario están jugando al tenis. Han llegado ambos a $40$ iguales. Si cuando están jugando Silvia normalmente gana a Mario con probabilidad $p$ en cada tirada (es decir, la probabilidad de que Silvia saque ventaja a Mario desde la posición de deuce es $p$), ¿cual es la probabilidad de que Silvia gane el juego estando en la posición de deuce? ¿Y de que lo gane Mario? SOLUCIÓN Podemos pensar que Silvia gana si o bien gana dos tiradas seguidas o bien consigue volver al deuce y gana entonces. Además, este mismo razonamiento vale para los casos en los que se produzcan deuces sucesivos, es decir, cuando Silvia no gane directamente desde ningún deuce. Si consideramos los sucesos $G \equiv$ "Silvia gana el juego" y $D_n \equiv$"la partida está entre el $n$ y el $(n+1)-$ésimo deuce": $$ G=\bigcup_{n=0}^{\infty} G \cap D_n$$y como no se pueden dar a la vez los sucesos $D_j$ y $D_k$ si $j \neq k$ pues la partida no puede estar en dos deuces distintos a la vez...

ESPACIOS VECTORIALES En matemáticas a menudo nos interesamos por identificar estructuras. Por ejemplo, en el post Conjuntos y Operaciones vimos cómo cuando establecemos operaciones en un conjunto se inducen unas ciertas estructuras (siempre que se cumplan ciertas condiciones). En este post vamos a echarle un ojo a la estructura de espacio vectorial. Antes de eso vamos a recordar los conceptos de grupo, anillo y cuerpo. Grupos, anillos y cuerpos GRUPOS $\text{Def.}$ Decimos que la estructura $(G,+)$ es un grupo si $G$ es un conjunto dotado de una operación, $+,$ y cumple: $+$ es una operación cerrada en $G.$ $(G,+)$ tiene elemento neutro. Todo elemento de $G$ tiene un opuesto con respecto a $+$. $+$ es asociativa. Si además se cumple: $+$ es conmutativa entonces el grupo se llama "conmutativo" o abeliano. ANILLOS $\text{Def.}$ Decimos que la estructura $(A,+,\cdot)$ es un anillo si $(A,+)$ es un grupo abeliano y con respecto a $\cdot $ s...

En el anterior post vimos cómo resolver recurrencias lineales de la forma: $$\begin{align} a_n=B_1 a_{n-1} + \ ... \ + B_{k}a_{n-k}\end{align} $$con $B_j \in \mathbb{R}$ y $B_k \neq 0.$ Es decir, vimos cómo es posible dar una fórmula explícita para $a_n$ que únicamente dependa de $n.$ Estas son las llamadas recurrencias lineales homogéneas. En este post vamos a intentar generalizar y dar una solución explícita para recurrencias que tienen la forma: $$ \begin{align} a_n=B_1 a_{n-1} + \ ... \ + B_{k}a_{n-k} + f(n)\end{align} $$donde $f$ es una función de $\mathbb{N}$ a $\mathbb{R}$ no nula (el caso en el que $f \equiv 0$ es el caso homogéneo que hemos tratado en el anterior post). Estas últimas se conocen como recurrencias lineales no homogéneas. Además en ambos casos los coeficientes $B_j\in \mathbb{R}$ son constantes. Si fueran funciones que dependen de $n$ el tema se complicaría más y no vamos a tratar esos casos por ahora. Por los mismos motivos que en el post anterior, vamos a...

A lo largo de este post vamos a intentar responder a la última pregunta que nos planteamos en el post de Límite de una Sucesión . Además hablaremos sobre los temas tratados durante los últimos posts, todo ellos relativos a sucesiones de números reales . La tercera y última pregunta que nos planteamos estaba relacionada con cómo entender las sucesiones en las que el término general viene definido en función de algunos de los términos anteriores. Un ejemplo clásico de esto es la sucesión de Fibonacci, $\lbrace F_n \rbrace_{n=1}^{\infty}$, donde: $$F_n=\begin{cases} 1 &\text{ si } n=1,2 \\ \phantom{a} \\ F_{n-1}+F_{n-2} &\text{ si }n \geq 3 \end{cases}$$Los primeros términos de la sucesión de Fibonacci son: $1,1,2,3,5,8,\ ...$ Nos gustaría poder averiguar si las sucesiones así definidas son acotadas, crecientes, decrecientes, convergentes, etc. en resumen: nos gustaría poder estudiar las sucesiones definidas de esta manera. Para ello podemos intentar dos cosas. La primera es aver...

Como todos bien sabemos, los números naturales ($n \in \mathbb{N}$) pueden expresarse todos como producto de primos, que son los números cuyos únicos divisores son ellos mismos y el número $1$ (aunque este no se considera un número primo). Es decir:$$\forall n \in \mathbb{N} \ \ \exists \ p_1,r_1, \ ... \ , p_k,r_k \in \mathbb{N}: \ \ n=p_1^{r_1} \cdot \ ... \ \cdot p_k^{r_k} \\ \text{donde  } p_i \text{  es primo para todo  }i=1,2,\ ... \ , k.$$Además sabemos que de números naturales hay una cantidad numerable (infinita, pero pequeña). El problema que planteamos hoy es el de dar una prueba (o al menos una idea para una prueba) que muestre que el conjunto de los números primos es infinito (y por tanto, numerable). Como siempre, una solución la podéis encontrar en el desplegable que hay a continuación. SOLUCIÓN Vamos a probarlo por reducción al absurdo. Supongamos que hay un número finito de números primos: $p_1, \ ... \ , p_n.$ Podemos considerar el número...

Este post va a estar relacionado con los tres anteriores: Límite de una Sucesión , El Teorema del Sándwich y Sucesiones Monótonas ; especialmente con este último, ya que también hablaremos sobre los resultados que en él vimos y el último ejemplo que estudiamos (sobre la sucesión $\left( 1+ \frac{1}{n}\right)^n \big)$. Vamos a introducir una notación para aclarar las referencias a cada sucesión. Para referirme a una sucesión $\lbrace a_n \rbrace_{n=1}^{\infty}$ que ya he introducido utilizaré la notación $\lbrace a_n \rbrace,$ y para referirme a su $n-$ésimo término simplemente escribiré $a_n,$ como es lógico. Hasta ahora hemos visto cómo cuando tenemos una sucesión de números reales, esta puede converger o diverger. Si diverge puede hacerlo esencialmente de dos maneras: la primera es que se va hacia $\infty$ o $-\infty,$ en cuyo caso decimos que tiende a $\infty$ o a $-\infty$ y "tiene límite". La segunda es que la sucesión no haga esto (por ejemplo que la sucesión os...