La Densidad de los Racionales

En anteriores posts vimos cómo $\mathbb{N}$ y $\mathbb{Q}$ tenían el mismo cardinal y como consecuencia hay tantos número naturales como enteros: una cantidad numerable. Sin embargo hay algo fundamental que diferencia a ambos conjuntos. Esto es que en los números reales, $\mathbb{Q}$ es denso, mientras que $\mathbb{N}$ no lo es. Lo que quiere decir esto es que dados dos números reales cualesquiera, entre ellos siempre vamos a poder encontrar un número racional. Esto no ocurre con los naturales: por ejemplo, entre $\frac{1}{2}$ y $\frac{1}{3}$ no hay ningún número natural. A primera vista es increíble que esto se cumpla sabiendo que hay tantos números racionales como naturales, no parece posible: podemos adentrarnos tan profundamente en cada intervalo de la recta real y aún así siempre habrá racionales ahí metidos. De hecho siempre habrá infinitos racionales ahí metidos.

Por un momento supongamos que esto es así (sin demostrarlo). Entonces, si tenemos en cuenta la propiedad del supremo, podemos pensar en que si tomamos un conjunto cualquiera de números reales que esté acotado, entre el supremo del conjunto y cualquier otro número real dentro del conjunto siempre va a haber infinitos números racionales. Esto quiere decir que podremos acercarnos al supremo del conjunto tanto como queramos saltando de número racional en número racional. Esta es la idea detrás de la definición de $\mathbb{R}$ como el conjunto de límites de sucesiones en $\mathbb{Q}.$ Podemos acercarnos a un número real tanto como queramos utilizando únicamente números racionales.

Además este razonamiento nos da una cierta intuición sobre cómo de bien conocemos los números reales y sobre cuántos conocemos. En realidad muchos de los números reales (no racionales) más conocidos están nombrados de formas específicas y descriptivas. Algunos ejemplos son $\sqrt{2}, \sqrt[5]{3}, \sqrt[7]{5},\ ...$ que indican las operaciones que tienen que llevarse a cabo para obtener un  número racional a partir de ellos (por ejemplo: $\sqrt{2}$ es el número real cuyo cuadrado es el número $2$). Otros números, como $e$ o $\pi,$ tienen historias distintas. Por ejemplo, el número $e$ es el límite: $$e=\lim_{n\rightarrow \infty} \left( 1 + \frac{1}{n}\right)^n$$que precisamente es el límite de una sucesión de números racionales. El caso de $\pi$ es especial, pues sabemos que es la "proporción" entre la longitud de una circunferencia y su diámetro, pero también se puede expresar de muchísimas maneras distintas como límite de sumas de números racionales (que al fin y al cabo son sucesiones en $\mathbb{Q}$). En resumen, los números reales son más bien desconocidos, y tenemos que ayudarnos de los racionales para poder intentar describirlos de maneras comprensibles.

Ahora vayamos con una serie de resultados previos para demostrar más adelante el teorema que hemos motivado al principio del post, que dice que entre dos números reales siempre hay un número racional.

$\text{Lema 1.}$ Sea $x\in \mathbb{R}.$ Entonces $\exists \ n \in \mathbb{N}: \ x\leq n.$

Podemos simplemente asumir que $\mathbb{N}$ no está acotado, y por tanto si suponemos lo contrario al enunciado llegaríamos a una contradicción, de manera que éste sería cierto. Otra forma de demostrarlo es considerar $S=\left\lbrace m \in \mathbb{N}: \ m\leq x \right\rbrace.$ Si suponemos que el enunciado es falso, entonces el conjunto $S=\mathbb{N}$ y está acotado superiormente. Por la propiedad de completitud de $\mathbb{R}$ y como $S\subset \mathbb{R},$ tenemos que $S$ tiene un supremo, digamos $u.$ Ahora, si consideramos el número $u-1<u,$ es fácil ver que al ser $u$ el supremo, $u-1$ no puede ser cota superior de $S.$ Por tanto, existe un $m\in \mathbb{N}$ tal que $u-1<m$ luego $u<m+1,$ pero $m+1 \in \mathbb{N}=S$ y por tanto $u$ no sería el supremo de $S.$ Esto es una contradicción, luego el enunciado debe ser cierto.


$\text{Lema 2.}$ Sea $0<x \in \mathbb{R}.$ Entonces $\exists \ n \in \mathbb{N}: \ \frac{1}{n}\leq x.$

Veamos que $\frac{1}{n}\leq x$ sii $\frac{1}{x}\leq n$ al ser $x>0.$ Aplicando el lema anterior para $y=\frac{1}{x}$ es fácil ver que siempre existe tal $n.$


$\text{Lema 3.}$ Sea $0<x \in \mathbb{R}.$ Entonces $\exists \ n \in \mathbb{N}: \ n-1 \leq x \leq n.$

Utilizando el $\text{Lema 1}$ para $x$ obtenemos un $m\in \mathbb{N}$ de manera que $x\leq m.$ Ahora consideremos $M=\left\lbrace n \in \mathbb{N}: \ x \leq n \right\rbrace.$ Sabemos que es no vacío, pues $m\in M,$ y por el buen orden de los números naturales, existe un $n\in M$ que es el mínimo de $M$. Por tanto, $n-1 \notin M,$ es decir, $n-1 \leq x \leq n,$ salvo el caso en el que $n=1$ si consideramos que $0 \notin \mathbb{N}.$ De cualquier manera en ese caso sigue siendo cierto, ya que hemos supuesto que $x>0,$ y por tanto $1-1=0\leq x \leq 1.$


$\text{Teorema.}$ Dados $x,y\in \mathbb{R}$ con $x<y$ entonces $\exists \ r \in \mathbb{Q}$  tal que $x<r<y.$

Podemos asumir que $0< x<y,$ pues en el caso $x< 0 < y$ podemos tomar como racional el $0,$ en el caso $x<y<0$ el argumento es por simetría (con el caso $0<-y<-x$ se convierte en uno del tipo $0<x<y$ y se obtiene $r$ tal que $0<-y<r<-x$ y por tanto $x<-r<y$ con $-r\in \mathbb{Q}$), y si o bien $x=0$ o bien $y=0,$ ambos pueden ser reducidos al caso $0=x<y$ y utilizando el $\text{Lema 2}$ para $y$ se obtiene el resultado. Podemos afirmar por tanto que únicamente necesitamos demostrar el caso $0<x<y.$

Para empezar, veamos que $x<y$ entonces $0<y-x$ y por el $\text{Lema 2}$ existe $n\in \mathbb{N}$ tal que $\frac{1}{n}<y-x,$ o lo que es lo mismo, $nx+1<ny,$ con lo cual tenemos las desigualdades $nx<nx+1<ny.$ Si aplicamos ahora el $\text{Lema 3}$ a $nx$ obtenemos $m\in \mathbb{N}$ tal que $m-1 \leq nx \leq m$ y además, sumando $1$ a la primera desigualdad, $m \leq nx+1,$ luego $m\leq nx+1 \leq ny$ y tenemos la cadena de desigualdades $nx<m<ny.$ Si dividimos por $n,$ obtenemos $x<\frac{m}{n}<y,$ y como $m,n \in \mathbb{N},$ entonces $\frac{m}{n} \in \mathbb{Q}.$

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