Límite de una Sucesión

SUCESIONES

El concepto de sucesión en matemáticas es muy parecido a lo que uno podría pensar: intuitivamente es un conjunto de números que podemos poner en orden. Por ejemplo: $1,2,3,4,5, \ ...$ podría ser una sucesión. Otro ejemplo que quizá se nos viene a la cabeza es: $1,3,5,7, \ ...$ o quizás $2,4,6,8, \ ...$ Ambas son sucesiones. Sin embargo una sucesión no tiene por qué seguir un patrón: también esta es una sucesión $4, 7, 3.3, 8.55, 6, 178, \ ...$ Además en este último ejemplo no hemos tomado solamente números naturales, sino que hemos permitido números racionales también. Quizá el lector más avispado se haya dado cuenta de que cuando tratamos con una sucesión conviene decir en qué conjunto estamos trabajando, y esta idea sirve para pensar que en realidad podemos hacer sucesiones de cualquier cosa (en cualquier conjunto) siempre que podamos tomar elementos de ese conjunto y numerarlos (hacer una lista con ellos).

Por todo esto en matemáticas una sucesión en un conjunto $\Omega$ se define como una aplicación $a: \mathbb{N} \longrightarrow \Omega$ (o a veces $\mathbb{N}\cup \left\lbrace 0 \right\rbrace \longrightarrow \Omega$) de manera que a cada número natural se le hace corresponder un elemento de $\Omega.$ Además se suele denotar $a(n)=a_n,$ y al conjunto de términos de la sucesión se lo denota: $\left\lbrace a_n \right\rbrace_{n = 1} ^{\infty} =\left \lbrace  a_1,a_2,a_3, \ ... \right\rbrace = \left\lbrace a_n \right\rbrace_{n \in \mathbb{N}} $ o para enfatizar el hecho de que son una colección ordenada: $\left( a_n \right)_{n = 1} ^{\infty}=\left( a_n \right)_{n =\in \mathbb{N}}=\left( a_1,a_2,a_3, \ ... \right).$ 
Por ahora a nosotros nos va a interesar el caso $\Omega = \mathbb{R},$ las sucesiones de números reales. Los ejemplos que hemos visto en el párrafo anterior son todos sucesiones de números reales, y a continuación se exponen algunos ejemplos más.

  1. $\left\lbrace a_n \right\rbrace_{n = 1} ^{\infty}$ con $a_n=2^n$ es una sucesión creciente: cada término es mayor o igual que el término anterior.
  2. $\left\lbrace F_n \right\rbrace_{n = 1} ^{\infty}$ donde $F_{n+2}=F_{n+1}+F_n$ con $F_1=1, F_2=1,$ la sucesión de Fibonacci: $\lbrace 1,1,2,3,5,8,13, \ ... \rbrace$
  3. $\left\lbrace \frac{1}{n} \right\rbrace_{n = 1} ^{\infty}=\left\lbrace 1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\frac{1}{5}, \ ... \right\rbrace$
  4. $\left\lbrace (-1)^n n! \right\rbrace_{n = 1} ^{\infty}=\lbrace -1,2,-6,24,-120,\ ... \rbrace$
  5. $\lbrace 1,1.1,1.11,1.111,1.111,1.1111, \ ... \rbrace$
  6. $\lbrace 1, 11, 21, 1211, 111221, 312211, 13112221, 1113213211, \ ... \rbrace$


Como la variedad de sucesiones que podemos hacer es muy amplia, podemos intentar considerar algunas en particular e intentar estudiarlas: quizá el hecho de que tengan propiedades que entendamos intuitivamente nos ayuda a deducir el comportamiento de algunas de ellas. Empecemos planteándonos preguntas: ¿qué ocurre con una sucesión conforme vamos avanzando en sus términos: es posible que cuando $n$ se haga muy grande, $a_n$ se acerque a un cierto valor? ¿Qué ocurre si la sucesión es siempre creciente, es decir: $a_n\leq a_{n+1}$? ¿Cómo puedo deducir las propiedades de una sucesión cuyo término general viene dado como una función del resto de términos (por ejemplo la sucesión de Fibonacci $\left\lbrace F_n \right\rbrace_{n = 1} ^{\infty}$, donde $F_{n+2}=F_{n+1}+F_n$ con $F_1=1, F_2=1$)?

LÍMITES DE SUCESIONES

La primera pregunta corresponde a averiguar si una sucesión tiene límite o no. Pero antes de nada vamos a pensar en cómo definir bien lo que es un límite. Desde luego la sucesión $\left\lbrace 2^n \right\rbrace_{n=0}^{\infty}=\left\lbrace 1,2,4,8,16,32,64,\ ... \right\rbrace$ no tiene límite, puesto que se hace muchísimo mas grande a cada paso que da, y si tuviese límite tendría que quedarse cerca del límite cuando $n$ se hace grande. Otra sucesión que tampoco tiene límite es $\left\lbrace (-1)^n\right\rbrace_{n\in \mathbb{N}}=\left\lbrace -1,1,-1,1,-1,1, \ ... \right\rbrace,$ ya que siempre oscila y no parece estabilizarse alrededor de ningún valor. De esta forma tenemos que evitar que al decir qué es el límite de una sucesión estos dos ejemplos cumplan tener límite.


Todo parece indicar que una sucesión tiene límite $L$ cuando los términos de la sucesión se van acercando a $L$ todo lo que queramos cuando $n$ se hace muy grande. Es decir, que para todo $\varepsilon>0$ número positivo tan pequeño como queramos, la distancia entre $a_n$ y $L$ ($|a_n-L|$) se hace menor que $\varepsilon$ cuando $n$ se hace suficientemente grande: si tú me das un número real muy pequeño (pero positivo) $\varepsilon,$ entonces yo puedo encontrar un término de la sucesión a partir del cual los términos siguientes están a distancia menor que $\varepsilon$ del límite $L.$ Encontrar tal término de la sucesión se reduce a encontrar el $n$ correspondiente a ese término: $N,$ que además lo denotaremos $N_{\varepsilon}$ (durante estos primeros usos) para enfatizar que depende de la elección de $\varepsilon$ que hagamos. Por tanto la definición matemática podemos hacerla así:

$\text{Def.}$ Sea $\left\lbrace a_n \right\rbrace_{n = 1} ^{\infty}$ una sucesión de números reales. Entonces: $$\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = L \Longleftrightarrow \forall \varepsilon>0 \ \ \exists N_{\varepsilon} \in \mathbb{N}: \ |a_n-L|<\varepsilon \ \  \forall n>N_{\varepsilon}\ .$$

  1. Si consideramos la sucesión $\left\lbrace \frac{1}{n} \right\rbrace_{n = 1} ^{\infty}$ podemos ver que tiene límite $0$ cuando $n$ tiende a infinito. Si nos damos cualquier $\varepsilon >0,$ queremos ver a partir de qué $N$ se tiene que si $n>N$ entonces $\frac{1}{n}<\varepsilon.$ Bien, si $n>N$ entonces $\frac{1}{n}<\frac{1}{N},$ así que si tomamos $N$ tal que $\frac{1}{N}< \varepsilon \Leftrightarrow \frac{1}{\varepsilon}<N,$ que sabemos que existe puesto que $\mathbb{N}$ no es un conjunto acotado, entonces tendríamos:$$\left| \frac{1}{n} - 0 \right| = \frac{1}{n}<\frac{1}{N}<\varepsilon$$y como esto podemos hacerlo sea cual sea el $\varepsilon,$ entonces se cumple la definición de límite y el límite es 0.
  2. La sucesión $\left\lbrace \frac{1}{n!} \right\rbrace_{n = 1} ^{\infty}$ tiende a $0$ cuando $n$ tiende a infinito. Para probarlo podemos seguir el mismo procedimiento que antes. Sin embargo, veamos lo que ocurre para algunos valores de $\varepsilon:$ si $\varepsilon=\frac{1}{100},$ comparémoslo con los términos de la sucesión: $\lbrace \frac{1}{1},\frac{1}{2},\frac{1}{6},\frac{1}{24},\frac{1}{120},\ ... \rbrace$ y vemos que a partir del quinto término ya se tiene que el resto de términos son menores que $\varepsilon.$ Si fuese $\varepsilon = \frac{1}{1.000}$ bastaría con tomar el séptimo término, y con $\varepsilon=\frac{1}{1.000.000}$ valdría con tomar el término décimo.


Cuando una sucesión de números reales $\left\lbrace a_n \right\rbrace_{n = 1} ^{\infty}$ tiene límite $L \in \mathbb{R}$ entonces decimos que converge al límite ($L$), y cuando no converge, diverge. También decimos que la sucesión $\left\lbrace a_n \right\rbrace_{n = 1} ^{\infty}$ tiende al límite $L$ ($a_n \longrightarrow  L$) cuando $n$ tiende a infinito ($n \longrightarrow \infty$). Por tanto las sucesiones $\left\lbrace 2^n \right\rbrace_{n=0}^{\infty}$ y $\left\lbrace (-1)^n\right\rbrace_{n\in \mathbb{N}}$ divergen, y las que hemos visto en los anteriores ejemplos y tienen límite convergen.

Ahora deberíamos pensar en varias cosas. La primera es si lo que acabamos de hacer es (en caso de existir) único: es decir, si una sucesión convergente puede tener más de un límite. La segunda es cómo se comportan los límites con las operaciones que conocemos en $\mathbb{R}.$ Por último la tercera es cómo se relacionan los límites de unas sucesiones con los de otras o cómo son los límites de sucesiones especiales: por ejemplo, si una sucesión siempre crece pero está acotada (es decir, como mucho crece hasta un valor), parece que debería tender a algo.
Pues bien, vamos a ver que si existe, el límite de una sucesión es siempre único, también vamos a ver que los límites se comportan bien con las operaciones que conocemos en los números reales y por último vamos a relacionar esta última pregunta con las dos que faltan por responder y que planteamos al principio del post, pero eso ya para los siguientes posts.

$\text{Prop.}$ Si $\left\lbrace a_n \right\rbrace_{n = 1} ^{\infty}$ es una sucesión convergente de números reales con límite $L\in \mathbb{R},$ dicho límite es único.

$\text{Dem.}$ Supongamos que $L_1$ y $L_2$ son ambos $\lim_{n\rightarrow \infty} a_n$ con $\left\lbrace a_n \right\rbrace_{n = 1} ^{\infty}$ convergente. Entonces $\forall \varepsilon_1>0 \ \ \exists N_{\varepsilon_1} \in \mathbb{N}: \ |a_n-L_1|<\varepsilon_1 \ \  \forall n>N_{\varepsilon_1}$ y también $\forall \varepsilon_2>0 \ \ \exists N_{\varepsilon_2} \in \mathbb{N}: \ |a_n-L_2|<\varepsilon_2 \ \  \forall n>N_{\varepsilon_2}.$ Ahora bien, $|L_1 - L_2 |=| L_1-a_n +a_n -L_2| \leq |a_n-L_1| + |a_n-L_2| < \varepsilon_1+\varepsilon_2 $ si $n>\max\lbrace N_{\varepsilon_1}, N_{\varepsilon_2}\rbrace.$ Ahora si definimos $\varepsilon = \varepsilon_1 + \varepsilon_2$ entonces se cumple que $\forall \varepsilon >0 \ \ |L_1-L_2|<\varepsilon$ luego tiene que ser $L_1=L_2.$


$\text{Prop.}$ Si $\left\lbrace a_n \right\rbrace_{n = 1} ^{\infty}, \ \left\lbrace b_n \right\rbrace_{n = 1} ^{\infty}$ son sucesiones convergentes con $\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = A$ y $\lim_{n \rightarrow \infty} b_n = B$  entonces:
  1. $\lim_{n \rightarrow \infty} (a_n + b_n) = A+B$
  2. $\lim_{n \rightarrow \infty} (a_n \cdot b_n) = A \cdot B$
  3. $\lim_{n \rightarrow \infty} (\frac{a_n}{b_n}) = \frac{A}{B}$ si $B \neq 0$
$\text{Dem.}$ Animo a todo el mundo que haya llegado hasta aquí a que intente probar el primer enunciado. La demostración completa la haremos en alguno de los siguientes posts porque todavía requiere algún resultado que no hemos visto.

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