PROBLEMA 5: Teorema de Viviani

Tenemos un triángulo equilátero de vértices $A,B,C.$ Sea $D$ un punto cualquiera interior al triángulo y sean $d_1,d_2,d_3$ las distancias desde $D$ a cada uno de los lados del triángulo.


Demuestra que: $$d_1+d_2+d_3 = h$$donde $h$ es la altura del triángulo. Este resultado se conoce como $\text{Teorema de Viviani.}$


Los segmentos que unen $D$ con cada uno de los vértices del triángulo dividen a este en $3$ triángulos más pequeños, de manera que el área del triángulo equilátero es la suma de las áreas de los triángulos pequeños. Utilizando la fórmula para el área de cada uno de los triángulos, y teniendo en cuenta que $d_1,d_2$ y $d_3$ son las alturas de los triángulos pequeños, si $l$ es la longitud del lado del triángulo equilátero: $$ \frac{l d_1}{2} +\frac{l d_2}{2}+\frac{l d_3}{2}=\frac{l h}{2}$$y se llega a: $$ d_1 + d_2 + d_3 = h.$$

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