Coordenadas en una Base

En el post Base, Estructura y Dimensión de un Espacio Vectorial vimos que todo espacio vectorial tiene una base: un conjunto de vectores linealmente independientes que generan el espacio. Por esta razón, todos los elementos de un espacio vectorial pueden expresarse como combinación lineal de los elementos de la base. Además definimos la dimensión del espacio como el cardinal de una base, y vimos (y demostramos) que esta definición tiene sentido dado que si encontramos dos bases distintas para el mismo espacio vectorial, ambas tienen el mismo cardinal (en el caso finito; en el caso infinito es necesario utilizar inducción transfinita para demostrar que dos bases tienen el mismo cardinal y por tanto no lo demostraremos). Lo que vamos a hacer en este post es ver cómo podemos expresar cada vector mediante coordenadas relativas a una base del espacio, y cómo estas cambian en función de la base que escojamos.

COORDENADAS

Vamos a suponer que tenemos $E$ un $K-$espacio vectorial de dimensión finita, $n \in \mathbb{N}.$ Supongamos que el conjunto: $$B=\left\lbrace e_1, \ ... \ , e_n \right\rbrace$$es una base de $E.$ Ahora tomemos un vector cualquiera de $E,$ pongamos $v.$ Al ser $B$ una base, podemos expresar $v$ de la siguiente manera: $$v= \lambda_1 e_1 + \ ... \ + \lambda_n e_n $$donde $\lambda_1, \ ... \ , \lambda_n \in K.$ Si pudiéramos identificar $v$ con los escalares $\lambda_1, \ ... \ , \lambda_n$ de forma biyectiva, sería razonable definir las coordenadas de $v$ como la $n-$tupla: $(\lambda_1, \ ... \ , \lambda_n),$ y pasar de trabajar con $v$ a trabajar con sus coordenadas. Esto sería de nuestro interés puesto que a menudo no vamos a poder trabajar directamente con $v$ pero sí con sus coordenadas en relación a una base, ya que hay espacios vectoriales en los que quizá no conocemos la forma de los vectores, pero sí las relaciones algebraicas con los de alguna base del espacio.
$\text{Def.}$ Sea $E$ un $K-$espacio vectorial de dimensión finita $n \in \mathbb{N}$ y $B=\left\lbrace e_1, \ ... \ , e_n \right\rbrace$ una base de $E.$ Dado $v \in E$ se definen las coordenadas de $v$ en la base $B,$ $[v]_B$ como la $n-$tupla: $$ [v]_B=\left( \lambda_1, \ ... \ , \lambda_n \right). $$
A menudo denotaremos a las coordenadas de $v$ de manera distinta: simplemente $v$ o posiblemente $v_B.$ Sin embargo es importante señalar que un vector no es lo mismo que sus coordenadas. De hecho, si un vector lo expresamos en coordenadas en dos bases diferentes, seguramente dichas coordenadas serán distintas, pero el vector sigue siendo el mismo. Vamos a ver un ejemplo:

El espacio de matrices cuadradas de orden $2:$ $$\mathbb{M}_2 (\mathbb{R})= \left\lbrace \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}: \ a,b,c,d \in \mathbb{R} \right\rbrace$$es un espacio vectorial de dimensión $4.$ Cada matriz podemos expresarla como: $$ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = a \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} + b \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} + c \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}+ d \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$de manera que: $$B=\left\lbrace \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \right\rbrace $$es una base de $\mathbb{M}_2 (\mathbb{R}).$ Además las coordenadas de la matriz $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ en la base $B$ son $(a,b,c,d).$ Fijémonos en un ejemplo particular: la matriz (el vector) $A=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}.$ Sus coordenadas en la base $B$ son: $$[A]_B=(1,1,1,1).$$Ahora vamos a considerar otra base: $$B'=\left\lbrace \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \right\rbrace .$$Es fácil comprobar que $B'$ es base, pues solo necesitamos comprobar que las cuatro matrices que aparecen son linealmente independientes (al ser $4$ y linealmente independientes generarán todo el espacio). Para ello basta plantear la ecuación para comprobar independencia lineal, que en este caso da la igualdad de matrices: $$ \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} =a \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} +b \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} +c \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} +d \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$$y ver que la solución es única y es $a=b=c=d=0.$ Llegados a este punto, calculamos las coordenadas de $A$ en la base $B',$ para lo cual es necesario hallar $a,b,c,d$ en la siguiente igualdad de matrices: $$ A=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} =a \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} +b \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} +c \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} +d \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}.$$El sistema que resulta es: $$\begin{cases}1 &= a+b+d \\ 1 &= b+d  \\ 2 &= c+d \\ 1 &= d\end{cases}$$cuya solución es única y es $a=0,b=0,c=1,d=1.$ Por tanto: $$[A]_{B'}=(0,0,1,1).$$Llegamos a la conclusión de que las coordenadas son distintas en función de la base que tomemos, mientras que la matriz es siempre la misma, y este ejemplo pone de relieve que no son lo mismo los vectores que sus coordenadas.


Ahora vamos a ver que, dada una base, la expresión en coordenadas de cada vector es única. Si no lo fuera, no nos serviría de mucho trabajar en coordenadas y habríamos de apañárnoslas con alguna herramienta mejor.
$\text{Prop.}$ Sea $E$ un $K-$espacio vectorial de dimensión $n \in \mathbb{N}$ y sea $B$ una base de $E.$ La expresión en coordenadas de cada vector respecto de $B$ es única.

Supongamos que existe un vector $v \in E$ que admite dos expresiones distintas en coordenadas respecto de la base $B=\left\lbrace e_1, \ ... \ , e_n \right\rbrace :$ $$\begin{align*} [v]_B &= (\lambda_1, \lambda_2, \ ... \ , \lambda_n) \\ [v]_B &= (\mu_1, \mu_2, \ ... \ , \mu_n) .\end{align*}$$Entonces: $$\begin{align*} v &= \lambda_1 e_1 + \ ... \ + \lambda_n e_n \\ v &= \mu_1 e_1 +  \ ... \ + \mu_n e_n .\end{align*}$$y por tanto, igualando y pasándolo todo a un lado: $$(\lambda_1 - \mu_1)e_1 + \ ... \ + (\lambda_n - \mu_n)e_n = 0_E$$y como $B$ es base, la colección de vectores $e_1, \ ... \ , e_n$ es linealmente independiente y todos los coeficientes $\lambda_i - \mu_i = 0_K$ de manera que $\lambda_i = \mu_i$ para $i=1,...,n,$ y se debe tener la unicidad de coordenadas respecto de la base $B.$

Por este motivo es muy cómodo trabajar en espacios vectoriales: tenemos coordenadas con las que podemos trabajar cómodamente, ya que, dada una base, podemos identificar cada vector con sus coordenadas en esa base. Ahora vamos a ver si las coordenadas se comportan como nos gustaría con las operaciones que tenemos en nuestro espacio vectorial.
$\text{Prop.}$ Sea $E$ un $K-$espacio vectorial de dimensión $n \in \mathbb{N}$ y $B$ una base de $E.$ Se tiene:
  1. $[u+v]_B = [u]_B + [v]_B$ para todo $u,v \in E.$
  2. $[\lambda u]_B = \lambda [u]_B$ para todo $u \in E, \ \lambda \in K.$

Antes de comenzar es preciso avisar de que hemos hecho un ligero abuso de notación, al no haber definido correctamente lo que es $\lambda [u]_B$ ni $[u]_B+[v]_B.$ Lo precisaremos más adelante. Estableceremos $B=\left\lbrace e_1, \ ... \ , e_n \right\rbrace.$
  1. Si $$[u]_B = (\lambda_1, \ ... \ , \lambda_n) \\ [v]_B = (\mu_1, \ ... \ , \mu_n)$$entonces $$u=\lambda_1 e_1 + \ ... \ + \lambda_n e_n \\ v= \mu_1 e_1 + \ ... \ + \mu_n e_n.$$Por tanto la suma es: $$u+v= (\lambda_1 + \mu_1) e_1 + \ ... \ + (\lambda_n + \mu_n) e_n$$cuyas coordenadas son: $$[u+v]_B = (\lambda_1 + \mu_1 , \ ... \ , \lambda_n + \mu_n).$$La razón por la que el enunciado muestra un abuso de notación es porque hemos afirmado que: $$(\lambda_1 , \ ... \ , \lambda_n) + (\mu_1 , \ ... \ , \mu_n) =  (\lambda_1 + \mu_1 , \ ... \ , \lambda_n + \mu_n)$$que en realidad es una operación en $K^n$ heredada de la operación $+$ en $K,$ y como no la hemos definido propiamente, realmente estamos haciendo un abuso de notación. Esto lo aclararemos todo en el siguiente post cuando veamos qué papel juega $K^n$ en todo esto.

  2. Si $[u]_B = (\lambda_1, \ ... \ , \lambda_n)$ y tomamos $\lambda \in K,$ el vector $\lambda u$ se expresa de la siguiente manera: $$ \lambda u = \lambda \lambda_1 e_1 + \ ... \ + \lambda \lambda_n e_n = \lambda \left( \lambda_1 e_1 + \ ... \ + \lambda_n e_n \right)$$de manera que podemos escribir: $$(\lambda \lambda_1 , \ ... \ , \lambda \lambda_n ) = \lambda (\lambda_1, \ ... \ , \lambda_n)$$y precisamente de ahí sale el resultado de la proposición. De nuevo estamos cometiendo un "abuso" de notación, pues $\lambda (\lambda_1 , \ ... \ , \lambda_n)$ no sabemos qué es, esa expresión no tiene sentido pues no la hemos definido. Estaríamos operando un elemento de $K$ con uno de $K^n$ y dando una igualdad con otro elemento de $K^n.$ Sin embargo, la notación hace que esto parezca intuitivo y fácil. En el siguiente post lo aclararemos cuando veamos cómo $K^n$ juega un papel especial como $K-$espacio vectorial. Por ahora nos quedaremos con esta proposición como una manera fácil de pensar cómo operar con coordenadas en un espacio vectorial.

Parece ser que por ahora ¡todo nos ha salido a pedir de boca! Tenemos una herramienta muy cómoda para trabajar en espacios vectoriales y tras hacer un poco de trabajo conocemos su estructura con bastante detalle. El paso lógico que debemos dar ahora es preguntarnos cómo varían las coordenadas de un mismo vector en función de la base que tomemos y cómo detallar las incógnitas de la última demostración. Es decir, para lo primero, ver cómo puedo obtener las coordenadas de un vector en una determinada base $B'$ si conozco sus coordenadas en la base $B$ y también conozco cómo es $B'.$ Esto es el cambio de coordenadas o cambio de base, y en el próximo post veremos cómo funciona. Para terminar, veamos un ejemplo sobre cómo tratar coordenadas:

Vamos a retomar el espacio que hemos tratado en el ejemplo anterior y vamos a hacer unas pocas cuentas. Sea $A=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ la matriz del ejemplo anterior, $B=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$ y $\mathcal{B}$ la segunda base dada en el ejemplo anterior: $$ \mathcal{B}=\left\lbrace \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \right\rbrace .$$Vamos a hallar las coordenadas de la matriz $C=A+B$ de dos maneras distintas. La primera: sumando las coordenadas de $A$ con las de $B,$ y la segunda: calculándolas a partir de la matriz $A+B.$
  1. Conocemos las coordenadas de $A$ en $\mathcal{B}$ puesto que las hemos calculado antes: $[A]_{\mathcal{B}}=(0,0,1,1).$ Para calcular las de $B$ planteamos la igualdad: $$ B=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} =a \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} +b \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} +c \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} +d \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} $$de la cual resulta el sistema: $$ \begin{cases}1 &= a+b+d \\ 0 &= b+d  \\ 0 &= c+d \\ 3 &= d\end{cases} $$cuya solución es única y es $a=1,b=c=-3,d=3,$ de manera que $[B]_{\mathcal{B}}=(1,-3,-3,3).$ Según la proposición que acabamos de demostrar, las coordenadas de $C$ serán: $$[C]_{\mathcal{B}}=(1,-3,-2,4).$$
  2. Por otro lado: $$C=A+B= \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}.$$Para hallar las coordenadas de $C$ en $\mathcal{B}$ planteamos la ecuación habitual: $$ C= \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} =a \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} +b \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} +c \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} +d \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$$y resolvemos el sistema resultante: $$ \begin{cases}2 &= a+b+d \\ 1 &= b+d  \\ 2 &= c+d \\ 4 &= d\end{cases}$$para obtener $a=1,b=-3,c=-2,d=4.$ Las coordenadas de $C$ en $\mathcal{B}$ han de ser: $$ [C]_{\mathcal{B}}=(1,-3,-2,4) $$que coincide con el resultado al que hemos llegado antes.

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