Rango e Inversa de una Matriz

En el post anterior vimos cuáles eran las condiciones necesarias (y suficientes) para poder invertir una matriz, esto es, para encontrar la matriz inversa de una matriz. A las matrices para las cuales existe una matriz inversa se llaman matrices invertibles. Lo que vamos a ver en este post es cómo utilizar el método de eliminación de Gauss para encontrar la matriz inversa de una matriz invertible.

RANGO

Hemos definido el rango de una matriz como la cantidad de vectores linealmente independientes que generan la imagen de la aplicación lineal asociada. Es decir, como la cantidad de vectores columna linealmente independientes de la matriz. Sin embargo podíamos haber definido esto como el rango por columnas, y a la cantidad de vectores linealmente independientes de las filas podríamos haberlo definido como el rango por filas. Lo cierto es que ambos conceptos resultan en el mismo número, es decir, el rango por columnas y el rango por filas coinciden. Esto es lo mismo que decir que coinciden el rango (por filas resp. por columnas) de una matriz y el rango (por filas resp. por columnas) de su traspuesta. Hay muchas formas de demostrar esto. Una de ellas requiere conocer el método de eliminación de Gauss y cómo funciona y se puede encontrar aquí. Otra se basa en la identificación de un espacio con su espacio dual. Esta última la veremos más adelante.

MÉTODO DE ELIMINACIÓN DE GAUSS

Este método sirve tanto para resolver sistemas de ecuaciones lineales como para invertir matrices. Se trata de convertir una matriz en la identidad haciendo operaciones con las filas de dicha matriz. A la par se hacen las mismas operaciones sobre la matriz identidad, de manera que al final se consigue la matriz inversa. Para resolver sistemas de ecuaciones lineales se puede utilizar este método de una forma similar. Aquí se puede ver fácilmente qué procedimiento hay que seguir.

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Relaciones de Orden y de Equivalencia

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El Teorema del Sándwich

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