Recurrencias Lineales no Homogéneas

En el anterior post vimos cómo resolver recurrencias lineales de la forma: $$\begin{align} a_n=B_1 a_{n-1} + \ ... \ + B_{k}a_{n-k}\end{align} $$con $B_j \in \mathbb{R}$ y $B_k \neq 0.$ Es decir, vimos cómo es posible dar una fórmula explícita para $a_n$ que únicamente dependa de $n.$ Estas son las llamadas recurrencias lineales homogéneas. En este post vamos a intentar generalizar y dar una solución explícita para recurrencias que tienen la forma: $$ \begin{align} a_n=B_1 a_{n-1} + \ ... \ + B_{k}a_{n-k} + f(n)\end{align} $$donde $f$ es una función de $\mathbb{N}$ a $\mathbb{R}$ no nula (el caso en el que $f \equiv 0$ es el caso homogéneo que hemos tratado en el anterior post). Estas últimas se conocen como recurrencias lineales no homogéneas. Además en ambos casos los coeficientes $B_j\in \mathbb{R}$ son constantes. Si fueran funciones que dependen de $n$ el tema se complicaría más y no vamos a tratar esos casos por ahora.

Por los mismos motivos que en el post anterior, vamos a hacer el desarrollo sobre recurrencias del tipo: $$a_n=\alpha a_{n-1} + \beta a_{n-2} + f(n) $$y al final daremos el resultado general para recurrencias de la forma $(2).$ Para empezar, proponemos que, dada una recurrencia, cada una de las soluciones es de la forma: $$ a_n=\begin{cases} A &\text{ si } n=0 \\ B &\text{ si } n=1 \\ \alpha a_{n-1} + \beta a_{n-2} + f(n) &\text{ si } n\geq 2 \end{cases} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (\text{PS}).$$Es decir, si nos dan la fórmula de recurrencia hay infinitas soluciones (sucesiones) que podemos proporcionar, y para seleccionar cada una de ellas basta con dar los dos valores que necesita la recurrencia para empezar a calcular los términos de la sucesión: $a_0$ y $a_1.$ Por tanto el problema $(\text{PS})$ tiene una única solución. Si recordamos el ejemplo homogéneo, en él las soluciones a la recurrencia formaban un espacio vectorial. En este ejemplo eso ya no va a ocurrir: supongamos que $b_n$ y $c_n$ resuelven la sucesión. Entones para $d_n=b_n+c_n$ se tiene: $$d_{n}=b_n+c_n=\alpha b_{n-1}+\beta b_{n-2} + \alpha c_{n-1} + \beta c_{n-2} +2f(n) $$y esto es: $$d_n = \alpha d_{n-1} + \beta d_{n-2} + 2f(n) $$ luego $d_n$ no es solución de la recurrencia. Por esto vamos a tener que intentar atacar el problema de una forma distinta. Vamos a echarle un ojo a la recurrencia homogénea asociada: $$ a_n=\alpha a_{n-1} + \beta a_{n-2}$$y consideremos una solución, $f_n$ a esta recurrencia. Ahora, sea $d_n$ una solución que resuelva la recurrencia: $$ d_n = \alpha d_{n-1} + \beta d_{n-2} + f(n).$$Si nos fijamos bien, podemos pensar en la sucesión $s_n=d_n+f_n,$ y es fácil ver que $$ s_n= \alpha s_{n-1} + \beta s_{n-2} + f(n)$$es decir, $s_n$ resuelve la recurrencia no homogénea. De hecho, si tenemos dos soluciones de la recurrencia no homogénea, $d_n$ y $s_n$ (no las de antes, sino dos soluciones cualesquiera) entonces la sucesión $f_n=d_n-s_n$ cumple $$ f_n = \alpha f_{n-1} + \beta f_{n-2}$$y por tanto es solución de la recurrencia homogénea asociada. Por tanto, las soluciones de la recurrencia no homogénea tienen la forma $$ f_n + d_n $$donde $d_n$ es una solución particular de la recurrencia no homogénea y $f_n$ es una solución (en general) de la recurrencia homogénea asociada. Además, para determinar completamente la solución a un problema del tipo $(\text{PS})$ basta con aplicar las dos condiciones iniciales que se tienen sobre los dos primeros términos.

Sin preocuparnos por ahora de la forma que tiene $d_n$ ni de cómo obtenerla, podemos elaborar un procedimiento para resolver este tipo de recurrencias:

1. Hallar una solución del problema homogéneo asociado, que será de la forma $$\lambda_1 e_n + \lambda_2 e'_n$$como ya vimos en el anterior post.
2. Hallar una solución particular de la recurrencia no homogénea, $d_n.$
3. La solución general a la recurrencia no homogénea tendrá la forma $$a_n= \lambda_1 e_n + \lambda_2 e'_n + d_n$$y tan solo falta aplicar las dos condiciones iniciales para determinar por completo la sucesión que resuelve $(\text{PS}).$

Con esto llegamos al último problema: encontrar la solución particular. Para hacer esto lo que vamos a intentar es buscar sucesiones que pertenezcan a la "clase" de $f.$ Es decir, si $f(n)$ es un polinomio en $n$, podemos intentar buscar $d_n$ entre los polinomios en $n.$ Si fuera un seno o un coseno, buscaríamos $d_n$ entre combinaciones de senos y cosenos. Así lo haríamos como regla general. Lo más fácil aquí es ver un par de ejemplos.

Vamos a considerar la recurrencia $a_n=a_{n-1}+a_{n-2}+2^n.$ La recurrencia lineal homogénea asociada es $a_n=a_{n-1}+a_{n-2},$ y precisamente en el anterior post hallamos una solución para esta recurrencia, y es de la pinta: $$a_n = A \varphi^n + B\psi^n.$$Únicamente tenemos la tarea de encontrar una solución particular para la recurrencia no homogénea y así conseguiremos la solución general. Probaremos con $d_n=C2^n: $ $$ \begin{align*} C2^n=C2^{n-1}+C2^{n-2}+2^n &\Leftrightarrow (C-1)2^n = C2^{n-1} + C2^{n-2} \\ 4(C-1)=2C+C &\Leftrightarrow C=4\end{align*} $$Acabamos obteniendo $C=4.$ La solución general a la recurrencia planteada es por tanto: $$a_n=A\varphi^n + B\psi^n +2^{n+2} .$$En el momento en que pongamos condiciones sobre los valores de $a_0$ y $a_1$ obtendremos una sucesión particular (una solución al problema del tipo $(\text{PS})$) determinando $A$ y $B.$

En este ejemplo la recurrencia que vamos a intentar resolver será $a_n=a_{n-1}+a_{n-2}+1+n.$ De nuevo la recurrencia homogénea asociada vuelve a ser $a_n=a_{n-1}+a_{n-2},$ con solución general: $$a_n = A \varphi^n + B\psi^n.$$En esta ocasión la parte no homogénea es $f(n)=1+n.$ Vamos a intentar encontrar una solución particular de la recurrencia no homogénea buscando entre los polinomios de grado $1:$ $d_n=C+Dn:$ $$C+Dn=C+D(n-1)+C+D(n-2)+1+n  \\ D(3-n)-n=C+1 \\ n(D+1)=3D-C-1$$y esto, al ser una igualdad entre polinomios, podemos analizarla de varias formas. Una de ellas es evaluando en varios valores de $n,$ mientras que otra forma (que en este caso quizá conviene más) es igualando los coeficientes de los términos de igual grado en cada uno de los polinomios. En este caso utilizando esto último queda: $$\begin{align*} 0&=D+1 \\ 0&=3D-C-1 \end{align*}$$y podemos resolver y hallar $C=-4, D=-1.$ La solución general a esta recurrencia es por tanto: $$a_n = A \varphi^n + B\psi^n - 4-n .$$De nuevo, para resolver un problema del tipo $(\text{PS})$ hay que imponer las dos condiciones iniciales que nos proporciona y determinar $A$ y $B.$

En el caso más general, cuando tenemos expresiones de la forma $(2),$ el procedimiento es el mismo. Primero se encuentra una solución de $(1)$ (la parte homogénea), $b_n,$ que vimos cómo hacerlo en el anterior post. A continuación buscamos una solución particular $d_n$ a la recurrencia no homogénea probando con sucesiones de la misma clase que $f.$ Por último, la solución general a la recurrencia será de la forma $a_n=b_n+d_n.$ En el contexto de un problema como $(\text{PS})$ con $k$ condiciones iniciales, basta con imponer las condiciones sobre $a_0, \ ... \ , a_{k-1}$ y así encontramos los coeficientes $B_1, \ ... \ , B_k$ y determinamos explícitamente la sucesión.