Aplicaciones y Cardinales

APLICACIONES Y FUNCIONES

Si acabas de llegar al blog, esta entrada está muy relacionada con la anterior: conjuntos, de modo que leerla te ayudaría a comprender lo que vamos a discutir a continuación.

En matemáticas, dados dos conjuntos (digamos $X$ e $Y$), una aplicación de $X$ en $Y$ es una regla que a cada elemento de $X$ le asigna un elemento de $Y$. Digamos que nuestra aplicación se llama $f$, entonces lo denotamos así: $f:X \longrightarrow Y$. La noción de aplicación es muy natural, y no es difícil pensar en ejemplos de aplicaciones: de hecho uno muy habitual es tomando $X=\left\lbrace \text{productos de un supermercado} \right\rbrace$ e $Y=\left\lbrace \text{precios de dichos productos en ese supermercado} \right\rbrace$. Definiendo la aplicación $f:X \longrightarrow Y$ que manda cada producto que puedes comprar en su precio, tenemos una aplicación. Por ejemplo, $f$ lleva una pera en su precio (en ese mercado). En general, si $x$ es un elemento de $X$, e $y$ es un elemento de $Y$ tal que $f$ lleva $x$ en $y$, solemos escribir $y = f(x)$.


La imagen muestra un ejemplo algo más abstracto de lo que representa una aplicación. Además podemos observar que en este caso $f$ recubre todo el conjunto $Y$: es decir, para cualquier elemento de $Y$ (digamos $y$) hay un elemento de $X$ (digamos $x$) tal que $f(x) = y$. En estos casos se dice que $f$ es "sobreyectiva":$$\forall y \in Y \ \ \exists x \in X: \ f(x)=y.$$Quedémonos con la noción de sobreyectividad e investiguemos otro poco en el ejemplo anterior. Podemos observar también que hay elementos distintos de $X$ cuya imagen por $f$ va a parar al mismo elemento de $Y$ (la imagen de $x$ por $f$ es $f(x)$). Por ejemplo, $x_1$ y $x_2$ ambos van a parar a $y_1$. Esto indica que la funcion $f$ NO es inyectiva. Es decir, una función es inyectiva si elementos distintos de $X$ van a parar a elementos distintos de $Y$:$$\forall x, x' \in X: \ x\neq x' \Rightarrow f(x)\neq f(x')$$o equivalentemente:$$\forall x, x' \in X: \ f(x)=f(x') \Rightarrow x=x'.$$Otro ejemplo:


Aquí lo que podemos ver es que $f$ es inyectiva pero no es sobreyectiva, pues el elemento $y_2$ no tiene un elemento $x\in X$ que vaya a parar a él por $f$, es decir: $\nexists x \in X: \ f(x)=y_2$, o lo que es lo mismo: $\forall x \in X, \ f(x)\neq y_2$.
A una aplicación que cumpla que a cada elemento de $X$ le asigna un único elemento de $Y$ la llamaremos función. En los ejemplos anteriores todas las aplicaciones eran funciones, puesto que dado $x\in X$,  $\exists ! y\in Y: \ f(x)=y$ (es decir, sólo hay un único $y$ que cumple $f(x)=y$ para ese $x$ que hemos tomado).
Ahora a una función que sea a la vez inyectiva y sobreyectiva la llamaremos función biyectiva o biyección. Es decir, $f:X\longrightarrow Y$ es una biyección si:$$\forall y \in Y \ \exists ! x \in X: \ y=f(x).$$ Este tipo de funciones son muy interesantes y nos permiten, entre otras cosas, establecer cuándo dos conjuntos tienen el mismo número de elementos.

APRENDIENDO A CONTAR. CARDINALES Y TAMAÑOS.

Ahora que sabemos lo que es una biyección, podemos observar lo siguiente: una biyección lleva cada elemento de $X$ en un elemento de $Y$, y dado un elemento de $Y$, siempre hay un elemento único de $X$ cuya imagen sea ese elemento de $Y$. Es decir, una biyección entre dos conjuntos identifica 1 a 1 sus elementos. En particular esto significa que si $f:X\longrightarrow Y$ es una biyección y $X$ tiene exactamente $3$ elementos, entonces a $Y$ no le queda más remedio que tener también $3$ elementos. Pero igual que he cogido $3$, podría haber cogido $n$ un número natural cualquiera. Es decir, si hay una biyección entre $X$ e $Y$, y son conjuntos finitos, ambos tienen el mismo número de elementos. Llamaremos cardinal de un conjunto a su número total de elementos: $|X|=Card(X)=\text{nº de elementos de } X$. ¡Menudo hallazgo!
Por supuesto también nos podríamos haber dado cuenta antes de que las nociones de inyectividad y sobreyectividad también nos dan cierta información sobre el cardinal de nuestros conjuntos. Por ejemplo, si $f$ va de $X$ a $Y$ y es inyectiva, entonces $Card(X)\leq Card(Y)$, y con la sobreyectividad pasa justo al contrario: si $f$ es sobreyectiva, entonces $Card(X)\geq Card(Y)$.
Por estas razones en matemáticas se dice que dos conjuntos tienen el mismo cardinal si y sólo si podemos establecer una biyección entre ambos (esto incluye también a conjuntos infinitos, que veremos más adelante). Esto quiere decir en particular, que si definimos: $\mathbb{N}_n=\left\lbrace 1,2,\ ...,n-1,n \right\rbrace $ entonces $A$ tiene $Card(A)=n$ si y sólo si hay una biyección entre $A$ y $\mathbb{N}_n$.

¡¡Enhorabuena, ya sabes contar!!

Para terminar, vamos a ver un ejemplo de para qué nos sirve esto. Imaginemos que tenemos dos conjuntos, $A$ y $B$, y que sabemos cuántos elementos tiene $A$ pero no cuántos tiene $B$. Entonces si conseguimos identificar cada elemento de $A$ con otro de $B$ de forma única, sabremos que $B$ tiene tantos elementos como $A$. De hecho, para ver que $Card(A)=Card(B)$ nos vale comprobar $Card(A)\leq Card(B)$ y $Card(A)\geq Card(B)$, que equivale a encontrar $f$ y $g$, funciones de $A$ en $B$ y que una sea sobreyectiva y la otra inyectiva.

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