Conjuntos I

UNA INTRODUCCIÓN A LAS MATEMÁTICAS

Estas primeras entradas del blog tratarán sobre ciertos aspectos básicos que se enseñan al empezar a estudiar matemáticas, y cuyo objetivo será sentar unas bases para poder elaborar algunos desarrollos algo más sofisticados más adelante. Es decir, vamos a hacer una introducción a los conceptos más básicos que nos van a permitir manejar con soltura algunas herramientas más complicadas más adelante (pero no es motivo para asustarse, veremos como todo esto será algo natural y muy sencillo).

Vamos a empezar hablando de conjuntos. En matemáticas los conjuntos son las cosas más básicas con las que uno puede encontrarse. Se suelen denotar con letras mayúsculas y se describen mediante llaves: $$X=\left\lbrace a ,\ b ,\ c \right\rbrace$$El conjunto $X$ que se describe arriba es un ejemplo de cómo describir un conjunto explícitamente, dando todos sus elementos. Sin embargo también podemos describir un conjunto dando una explicación sobre cómo son los elementos que lo forman: $$X=\left\lbrace \text{números naturales mayores que 3} \right\rbrace = \left\lbrace n \in \mathbb{N}: \ n>3 \right\rbrace=\left\lbrace 4,5,6, 7,\ ... \right\rbrace.$$
Introduciremos un poco de notación para hacernos la vida más facil cuando tengamos que hablar de conjuntos:

  • Pertenece: $\in$ - lo utilizaremos para indicar cuándo un elemento está en un conjunto:$$ 1 \in \left\lbrace 1, 2, 3 \right\rbrace.$$
  • Contenido: $\subset$ - lo utilizaremos para indicar cuándo un conjunto está contenido en otro: es decir, cuando todos los elementos del primer conjunto sean a la vez elementos del segundo:$$\left\lbrace 1, 2, 3 \right\rbrace \subset \left\lbrace -1, 1, 2, 3, 5, 79 \right\rbrace$$
  • Para todo: $\forall$ - lo utilizaremos cuando queramos expresar que una cierta propiedad se cumple para todos los elementos de cierto tipo:$$\forall n \in \left\lbrace 1, 2, 3 \right\rbrace, \ n<7.$$
  • Existe: $\exists$ - lo utilizaremos cuando queramos indicar que algo existe:$$\exists n \in \left\lbrace 1, 2, 3 \right\rbrace : \ n+1=2$$y de hecho en este ejemplo, $n$ es único y $n=1$. Cuando el elemento del que hablamos es único, usamos el símbolo $\exists !$.

Vamos a recordar algunos de los conjuntos de números que nos enseñaron hace tiempo:

  • Números naturales:    $$\mathbb{N} = \left\lbrace 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...\right\rbrace$$
  • Números enteros:    $$\mathbb{Z} = \left\lbrace ..., -3, -2, -1,\ 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ ...\right\rbrace$$
  • Números racionales: $$\mathbb{Q} = \left\lbrace \frac{p}{q}:\ p,q \in \mathbb{Z} \right\rbrace=\left\lbrace 1,\frac{1}{2}, \frac{1}{3},\ ..., 2, \frac{2}{3}, \frac{2}{5},\ ..., 3, \frac{3}{2}, \frac{3}{4},\ ...\right\rbrace$$
  • Números reales:    $$\mathbb{R} = \left\lbrace x: x=\lim_{n \rightarrow \infty} x_n , \ \left\lbrace x_n \right\rbrace_{n=1}^{\infty} \subset \mathbb{Q} \right\rbrace$$

En resumen, los números naturales son aquellos que conocemos de toda la vida, del $1$ en adelante. Los enteros añaden los números negativos y el $0$. Los racionales son las fracciones, y los reales los hemos definido de una forma un poco rara, pero no te asustes, porque en realidad son todos los números que te puedas imaginar que hay en una recta. Si te suena haber oído lo que es la recta real, entenderás cuáles son. Visualmente podemos pensar que los números reales son los únicos que al situarlos en una recta no dejan huecos libres, mientras que el resto de conjuntos de números que hemos descrito sí que los dejan:


es decir, podemos pensar que los números reales "completan" al resto de números.
Para terminar, me gustaría plantear la pregunta: ¿Es el conjunto de números reales el más grande que podemos hacer?
Podemos pensar en que igual que para pasar de $\mathbb{N}$ a $\mathbb{Z}$ hemos añadido los elementos que cumplen $n+1=1 \ \left( \Rightarrow n=0 \right)$ y $n+m=0\ \forall m \in \mathbb{N} \ \left( \Rightarrow n=-m \right)$, y para pasar de $\mathbb{Z}$ a $\mathbb{Q}$, hemos metido los elementos $m$ que tienen $am=b \ \ \forall a,b \in \mathbb{Z} \ \left( \Rightarrow m=\frac{b}{a} \right)$, podemos añadir a $\mathbb{R}$ todos aquellos elementos $x$ que cumplan $x^2 + y=0, \ \ y>0$. Es decir, $x=\sqrt{-y}=\sqrt{y} \sqrt{-1}$, y por tanto nos vale con meter $\sqrt{-1}$, porque $\sqrt{y}\in \mathbb{R}$ si $y>0$. Así es como creamos el conjunto de números complejos, $\mathbb{C}$, añadiendo a $\mathbb{R}$ un elemento, $i$, que elevado al cuadrado resulte en $-1$.


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