Conjuntos y Operaciones

Hasta ahora hemos estado hablando sobre conjuntos y en particular sobre los conjuntos de números naturales, enteros, racionales y reales. Llegados a este punto es natural pensar en las operaciones que conocemos en esos conjuntos, e intentar generalizarlas a conjuntos distintos.
En esencia una operación es una regla que dados dos elementos de un conjunto, devuelve otro de ese mismo conjunto. Es importante darse cuenta de que la operación debe definirse en base al conjunto con el que estemos trabajando. Es decir, no vamos a sumar perros con números naturales, ni multiplicar funciones con números racionales. Motivado por esto, vamos a definir una operación en un conjunto $X$ como una función de la forma:
$$\begin{align*}\varphi : \ \  & \ X  \times  X \longrightarrow X \\ & (x_1, x_2) \mapsto \varphi (x_1,x_2) \end{align*}$$Para nosotros esta va a ser la definición de operación. En algunos contextos esto se conoce como operación binaria, ya que únicamente opera $2$ elementos de $X.$
Ahora vamos a pensar en algunas propiedades que tienen las operaciones en los conjuntos que conocemos:

LA SUMA

En los números naturales la suma tiene una serie de propiedades interesantes. La primera de ellas es que dados $n$ y $m$ números naturales, $n+m$ también es un número natural, es decir, la suma de dos elementos de $\mathbb{N}$ sigue siendo un elemento de $\mathbb{N},$ la suma es cerrada. Esto no debe sorprendernos demasiado por cómo hemos definido el concepto de operación. Sin embargo podríamos intentar pensar en conjuntos que no cumplan esto: por ejemplo $A=\left\lbrace 1,2,3 \right\rbrace$ y la suma $+$ que conocemos de $\mathbb{N}$ no cumplen esto, es decir, la suma de los naturales no es una operación cerrada en $A,$ porque $1+3=4 \notin A.$
Otra propiedad que cumplen los naturales es la asociatividad: $$ (n+m)+p=n+(m+p).$$Da igual qué par sumemos antes, el resultado es el mismo. La suma en los números naturales también es conmutativa: $$n+m=m+n.$$Por ahora esas son todas las propiedades que podemos observar en el conjunto de los números naturales.

Si aumentamos un poco nuestro conjunto, digamos que ahora consideramos la suma en  los enteros: $\mathbb{Z},$ quizá podamos ver que ocurren algunas cosas más. Para empezar, hay un elemento que sumado con cualquier otro número mantiene dicho número: $a+0=a.$ Un elemento así lo llamamos elemento "neutro" para la operación suma.
Otra observación que podemos hacer es que dado cualquier elemento $n\in \mathbb{Z}$ podemos encontrar otro, $m,$ que sumado a $n$ da $0,$ es decir: $\forall n \in \mathbb{Z} \ \exists m \in \mathbb{Z}: \ n+m=0.$ Este elemento se denota $-n$ y se llama elemento "opuesto o inverso" de $n.$ Por ejemplo, para el $1$ está el $-1,$ para el $3$ el $-3,$ para el $21$ el $-21$, etc.

Podemos observar que en los números racionales y en los reales se siguen cumpliendo todas estas propiedades, y de hecho es difícil pensar en más propiedades que cumpla la suma en alguno de estos conjuntos y no en los naturales ni en los enteros. Por ahora hemos encontrado $4$ propiedades (aparte de que una operación es cerrada) que parecen interesantes y con las que intentaremos trabajar más adelante. Todavía hay otra operación que podemos investigar un poco: el producto.

EL PRODUCTO

En los números naturales el producto no es demasiado interesante. Es cerrado, asociativo y conmutativo. Tiene elemento neutro (el número $1,$ ya que $n\cdot 1 = n$) pero no tiene elemento opuesto. En los enteros pasa lo mismo, cumple las mismas propiedades pero sigue sin tener elemento opuesto. El primer caso interesante se da en los números racionales. Aquí todo elemento tiene su inverso. Si tomamos $\frac{p}{q} \in \mathbb{Q},$ podemos considerar $\frac{q}{p}$ y el producto $\frac{p}{q} \cdot \frac{q}{p}=1.$ Esto ocurre siempre que el elemento $\frac{p}{q} \in \mathbb{Q}$ sea distinto de $0,$ ya que sabemos que $a\cdot 0 = 0.$ En los números reales ocurre lo mismo, todo elemento tiene inverso con respecto al producto salvo el $0$.

Si nos fijamos un poco más en cómo funcionan las operaciones, podemos pensar en cómo se relacionan la suma y el producto en los conjuntos que hemos visto. En los naturales sabemos que el producto distribuye a la suma: $p\cdot (n+m)=p\cdot n + p\cdot m.$ Lo mismo ocurre en los enteros, racionales y reales. Además la suma no distribuye al producto en ninguno de ellos, porque $a+(b\cdot c) \neq (a+b) \cdot (a+c).$

GRUPOS, ANILLOS Y CUERPOS

Hemos observado $4$ propiedades que se cumplen en los conjuntos de números con los que somos más familiares para ambas operaciones. Vamos a denotar una operación cualquiera $\varphi (a,b)=a\oplus b.$ En un conjunto $A$ con una operación $\oplus$ en general:
  • Elemento neutro:  $\exists e \in A: \ a \oplus e = e \oplus a = a \ \forall a \in A$
  • Elemento inverso:  $\forall a \in A \ \exists b \in A: \ a\oplus b =e.$
  • Propiedad asociativa: $a\oplus (b\oplus c)=(a\oplus b) \oplus c \ \ \forall a,b,c \in A$
  • Propiedad conmutativa: $a\oplus b =b \oplus a \ \ \forall a,b \in A$
Además hemos visto una quinta propiedad que requiere que haya dos operaciones, $\oplus$ y $\odot.$ Decimos que $\odot$ distribuye a $\oplus$ si $a \odot (b \oplus c)=(a \odot b)\oplus (a\odot c) \ \ \forall a,b,c \in A$ y $(a \oplus b) \odot c=(a \odot c)\oplus (b\odot c) \ \ \forall a,b,c \in A.$ Utilizaremos la notación $\left( A, \oplus \right)$ para referirnos a que el conjunto $A$ tiene una operación definida en él $(\oplus)$ y $\left( A, \oplus, \odot \right)$ para denotar que tiene dos $(\oplus$ y $\odot).$

Dadas estas propiedades podemos intentar estudiar cómo son los conjuntos con operaciones de este tipo. Entre ellos estarán los conjuntos de números de los que hemos estado hablando, principalmente $\mathbb{Z},$ $\mathbb{Q}$ y $\mathbb{R}.$

$\text{Grupos:}$
Diremos que un conjunto $G$ con una operación $\oplus$ es un grupo si:
  1. La operación $\oplus$ es cerrada en $G.$
  2. $G$ tiene elemento neutro para $\oplus.$
  3. Todo elemento de $G$ tiene elemento opuesto para $\oplus.$
  4. La operación $\oplus$ es asociativa.
Si además $\oplus$ es conmutativa, diremos que $G$ es un grupo conmutativo o abeliano.

$\text{Anillos:}$
Diremos que un conjunto $R$ con dos operaciones $\oplus$ y $\odot$ es un anillo si $\left( R,\oplus \right)$ es un grupo abeliano y:
  1. La operación $\odot$ es cerrada en $R.$
  2. La operación $\odot$ es asociativa.
  3. La operación $\odot$ distribuye a $\oplus$
Si además $\odot$ tiene elemento neutro, entonces se conoce como anillo unitario o con unidad, y si cumple la propiedad conmutativa, entonces el anillo es conmutativo. Un anillo con ambas propiedades se denomina anillo conmutativo y con unidad, aunque en muchos contextos se asume que se trabaja con este tipo de anillos y se dice simplemente que son anillos.

A partir de aquí introduciremos un poco de notación. Al elemento neutro con respecto a la suma lo denotaremos por $0,$ y al neutro con respecto al producto lo denotaremos $1.$

$\text{Cuerpos:}$
Diremos que un conjunto $K$ con dos operaciones $\oplus$ y $\odot$ es un cuerpo si es un anillo conmutativo y con unidad y además todo elemento de $K^*$ tiene inverso para $\odot,$ donde $K^*=K\setminus \left\lbrace 0 \right\rbrace.$

Conforme veamos las propiedades de cada tipo de estructura iremos viendo cómo hay distintos tipos de grupos, anillos y cuerpos, y que su estudio es una rama muy amplia de las matemáticas. Para terminar veamos algunos ejemplos de estructuras de este tipo.

$\text{Ejemplo.}$ Los conjuntos de las simetrías y de las rotaciones de un triángulo y de un cuadrado son ambos grupos para la operación composición.

$\text{Ejemplo.}$ Los conjuntos $(\mathbb{Z},+), \ (\mathbb{Q},+), \ (\mathbb{R},+), \ (\mathbb{C},+)$ son todos grupos cuyo elemento neutro para la suma es el número entero $0$ y cuyo neutro para el producto es el número natural $1.$ Es más, $(\mathbb{Q},+,\cdot), \ (\mathbb{R},+,\cdot)$ y $(\mathbb{C},+,\cdot)$ son anillos y cuerpos.

$\text{Ejemplo.}$ El conjunto $\left\lbrace f:A\longrightarrow A: \ f \text{  biyectiva}\right \rbrace$ y $A$ finito es un grupo con la operación composición ($\circ$).

$\text{Ejemplo.}$ El conjunto de polinomios con coeficientes en un cuerpo es un anillo conmutativo y con unidad.

$\text{Ejemplo.}$ El conjunto de matrices cuadradas de dimensión $n$ es un grupo con la suma de matrices y un anillo (no conmutativo) si se añade el producto de matrices.

$\text{Ejemplo.}$ El conjunto de funciones continuas en $[a,b] \subset \mathbb{R}$ es un grupo con la composición de funciones ($\circ$). 

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