El Hotel de Hilbert I

El Hotel de Hilbert es una interpretación mediante un símil comprensible de lo que significa que el conjunto de los números naturales, $\mathbb{N}=\left\lbrace 1,2,3, \ ... \right\rbrace $, es un conjunto numerable (es decir, infinito, pero cuyos elementos podemos "ordenar en una lista numerada"). Fue propuesto por el matemático alemán David Hilbert (de ahí el nombre). El enunciado dice así:

"Un hotelero se dispone a construir el hotel más grande del mundo. Para ello se pregunta cuántas habitaciones tendría que tener este hotel. Si tuviera un número finito de habitaciones, siempre alguien podría hacer otro hotel con una habitación más, o incluso el doble de habitaciones. El hotelero llegó a la conclusión de que tendría que hacer un hotel de infinitas habitaciones. Una vez construido su hotel, el hotelero afirmó que siempre habría sitio para alguien en el hotel, lo cual fue muy conveniente, pues éste se empezó a llenar y rápidamente llegaron infinitas personas para llenar las infinitas habitaciones. Un tiempo después de haberse llenado el hotel, llegó un viajero decidido a quedarse en él." 

Vamos a parar aquí, dado que nuestro objetivo será pensar en si el viajero podría quedarse en el hotel teniendo en cuenta que ya está lleno, tal y como afirmó el hotelero. El truco está en darse cuenta de que precisamente por tener infinitas habitaciones, siempre vamos a poder meter más gente en el hotel. En este caso podemos hospedar al viajero si movemos al resto de huéspedes cada uno a otra habitación. Digamos que las habitaciones está numeradas: $1, 2, 3, \ ...$ entonces si movemos al huésped de la habitación $1$ a la $2$, el de la $2$ a la $3$, el de la $3$ a la $4$ y así sucesivamente, la habitación $1$ quedará libre y por tanto podremos hospedar a nuestro viajero, pero ¿habremos echado a alguien del hotel? La respuesta es no, puesto que el hotel es infinito, y a cada huésped siempre se le asigna otra habitación $\left( n \mapsto (n+1) \ \ \forall n \in \mathbb{N} \right) .$ La cosa no acaba aquí. Podemos imaginarnos que llegan de golpe un número finito de viajeros: $m$, y que todos ellos quieren hospedarse en el hotel. En ese caso podríamos repetir este proceso $m$ veces y acabar con todos ellos hospedados, lo que sería equivalente a mandar al huésped de la habitación $1$ a la $m+1$, al de la $2$ a la $m+2$, etc., en general: $\left( n \mapsto (n+m) \ \ \forall n \in \mathbb{N} \right) .$ Una vez resuelto el problema, sigamos con la historia:

"Un día de repente se presenta ante la entrada del hotel un autobús que asegura traer infinitos viajeros al hotel, dispuestos todos ellos a quedarse en él. El recepcionista se lo piensa un momento y al cabo de un rato afirma poder hospedarlos a todos."

Volvemos a parar para ver cómo podríamos hacer un hueco para meter a los infinitos viajeros. En este caso podemos darnos cuenta de que si mandamos el huésped de la habitación $1$ a la $2$, el de la $2$ a la $4$, el de la $3$ a la $6$ y así continuamente, estaríamos dejando todas las habitaciones impares libres, y alojando a los anteriores huéspedes en las habitaciones pares $\left( n \mapsto 2n \ \ \forall n \in \mathbb{N} \right) .$ A cada viajero del autobús le damos la llave de una habitación de número impar y habremos conseguido hospedarlos a todos. Si en vez de un autobús llegasen más, digamos $k$ autobuses, podríamos pensar de la misma manera, pero en vez de mandar el huésped de la habitación $n$ a la $2n$, tendríamos que mandarlo a la habitación $\left( k+1 \right) n$. Pese al esfuerzo que hemos hecho por alojar a tanta gente en el hotel, todavía se presentan más problemas:

"Estando el hotel lleno hasta arriba de gente, llega una caravana de infinitos autobuses con infinitos viajeros dentro de cada uno de ellos y se presenta ante la entrada del hotel, con la firme intención de dejar allí a los viajeros. De nuevo el recepcionista se lo piensa un rato y llega a una conclusión tras la cual afirma poder hospedarlos a todos."

Esta vez el problema tiene peor pinta, pero no es motivo de preocupación, puesto que ya hemos metido infinitos viajeros en el hotel antes y deberíamos haber aprendido. En este caso el truco está en darse cuenta de que cada autobús podemos alojarlo en las habitaciones de índice $p^n$ donde $p$ es un número primo y $n$ simboliza cada viajero dentro de cada autobús. La razón es que hay infinitos números primos, y podemos identificar cada autobús con uno de ellos. Para empezar reordenamos a los huéspedes del hotel. Nos basta con cambiar de sitio a aquellos que habiten una habitación de índice una potencia de un número primo, $p^n$ para todo $p$ primo y $n \in \mathbb{N}$, pues esas son las habitaciones que vamos a querer llenar con los viajeros. A cada uno de los huéspedes de esas habitaciones lo mandamos a una habitación cuyo índice sea una potencia de $2$ $\left( \text{i.e. } 2^k, \ k \in \mathbb{N} \right)$. En particular, vamos a querer mandar al habitante de la habitación $p^n$ a la habitación $2^{p^n}$. Ahora para hospedar a los viajeros podemos asignar a cada autobús $\left( A_1, A_2, A_3, \ ... \right)$ un número primo distinto $\left( A_1 \rightarrow 3, \ A_2 \rightarrow 5, \ A_3 \rightarrow 7, \ ... \right)$, de forma que al $i$-ésimo viajero del autobús $j$-ésimo le tocaría la habitación $(p_j)^i$, donde $p_j$ es el $j$-ésimo número primo. El hotel volvería a estar lleno de nuevo y ahora los viajeros estarían hospedados en él.

MATEMÁTICAMENTE

Esto parece algo completamente ajeno a nuestra intuición, pero es lo que ocurre cuando jugamos con el infinito. Matemáticamente lo que quiere decir esto es que el cardinal de los números naturales y el de los números que son múltiplos de otro dado es el mismo, así como también es igual al cardinal del conjunto de las potencias de un número y al cardinal de la unión de los naturales y un conjunto finito. Todo esto lo exploraremos más a fondo y de una manera más formal en la siguiente entrada.