La Paradoja de Russell

Una paradoja es una idea que va en contra de la intuición, bien sea porque es contradictoria o porque aparenta serlo (aunque en realidad no lo sea). Aquí puedes ver una clasificación de los tipos de paradojas. La que veremos hoy (quizá una de las más importantes) es la paradoja de Russell, conocida así en honor al matemático y lógico británico, Bertrand Russell, a quien se atribuye su publicación a principios del siglo XX.

La paradoja suele enunciarse de dos formas. La primera es mediante el enunciado del barbero, y la segunda es enunciada formalmente en lenguaje de teoría de conjuntos. El enunciado del barbero (simplificado) dice algo así:

En un pueblo está establecida una regla que dice: "únicamente aquellas personas que no se afeiten a sí mismas serán afeitada por un barbero". En el pueblo, sin embargo, hay únicamente un barbero, lo cual le supone un problema, pues si el barbero se afeitase a si mismo, entonces no sería afeitado por el barbero, es decir por si mismo. Sin embargo, si el barbero no se afeitase a si mismo, por la ley del pueblo se tendría que afeitar a sí mismo. El barbero por tanto se halla en una increíble crisis existencial.

Formalmente quizá se entienda mejor. Consideremos el conjunto $X$ formado por todos los conjuntos que no se tienen a si mismos como elementos: $X=\left\lbrace A: A\notin A \right\rbrace .$ (Un ejemplo de un conjunto que sí se tiene a si mismo como elemento es el conjunto de todos los conjuntos o el conjunto de conjuntos cuyos elementos son conjuntos). Ahora nos preguntamos qué ocurre con $X:$ supongamos $X\in X.$ Entonces, por definición de $X,$ se tiene que $X \notin X.$ Esto no tiene sentido, así que se tiene que dar $X\notin X,$ pero esto quiere decir, por la definición de $X$, que no se cumple que $X \in \left\lbrace A: A\in A \right\rbrace,$ lo que implica que $X \in X,$ lo cual vuelve a ser una contradicción. Es decir, hemos demostrado $X \in X \Longleftrightarrow X \notin X,$ y lo mires por donde lo mires esto es inconsistente por todos lados.

Pongámonos en situación para entender la importancia del asunto. La Teoría Informal de Conjuntos, teoría que había sido desarrollada por el matemático ruso Georg Cantor y por el matemático y lógico alemán Gottlob Frege, había supuesto un gran avance en las matemáticas a la hora de tratar con conjuntos infinitos, y había permitido a Cantor descubrir una serie de resultados muy importantes. Además la teoría de conjuntos es la base de las matemáticas y de ella se toman una gran parte de argumentos que permiten desarrollar el resto de áreas.

Ahora, desde el punto de vista lógico a partir de algo falso se puede demostrar cualquier cosa (es decir, para poder demostrar que algo es cierto, necesitamos partir de algo que es cierto. Un ejemplo de esto es la afirmación: "El cielo es rosa, luego los patos comen seres humanos", que es falsa evidentemente pero como la primera parte de la implicación es falsa, podemos asegurar que la implicación es cierta, total, nunca vamos a estar en la situación de que el cielo sea rosa). Esto significa que como nuestro modelo de teoría de conjuntos tiene contradicciones, es posible que demostremos algo falso, y por tanto se perdería el sentido de lo que es cierto y lo que no. Todo el edificio de las matemáticas se tambaleaba peligrosamente. El modelo de teoría de conjuntos propuesto por Cantor era demasiado permisivo.
Esto llevó a los matemáticos a buscar teorías en las que no hubiera contradicciones, axiomas coherentes a partir de los cuales construir una teoría de conjuntos robusta. En particular, los matemáticos Ernst Zermelo y Adolf Fraenkel desarrollaron una teoría sencilla (a nivel lógico) que consta de $9$ axiomas. La nueva teoría eliminaba las paradojas de Russel, Cantor y Burali-Forti, que habían sido formuladas en el contexto de la Teoría Informal de Conjuntos. Los matemáticos John Von Neumann, Russell y Whitehead también elaboraron teorías que solventaban estos problemas.

Hoy en día el sistema más utilizado es el de Zermelo-Fraenkel. Sin embargo, este sistema tampoco es perfecto. El lógico y matemático austríaco Kurt Gödel demostró dos teoremas de lógica matemática de los cuales se deduce que del sistema de Zermelo-Fraenkel no se puede demostrar su consistencia dentro del propio sistema. Es decir, no se puede garantizar que no haya contradicciones. Sin embargo, se cree que no las tiene, ya que nadie hasta ahora ha encontrado ninguna. Además, como consecuencia de los teoremas de Gödel se tiene que hay ciertos enunciados independientes de los axiomas. Básicamente, dentro del sistema de Zermelo-Fraenkel hay enunciados indemostrables. Algunos ejemplos célebres son el axioma de elección y la hipótesis del continuo (que comentaremos en futuros posts). Por esta razón muchos autores eligen como décimo axioma de la teoría el axioma de elección, que facilita la tarea de demostrar varios resultados (teoría ZFC).