PROBLEMA 1: Los cumpleaños

Este es el primero en una serie de problemas que iremos proponiendo y resolviendo en el blog (para animar a la gente a que los intente y para ver aplicaciones y argumentos matemáticos frente a los problemas).

ENUNCIADO

¿Cuál es el mínimo número de personas necesarias para que la probabilidad de que al menos dos de ellas cumplan años el mismo día sea mayor que el $50\%$?

Podemos pensar en cuál es la probabilidad de que $n$ personas tengan $n$ cumpleaños distintos, y darnos cuenta de que el suceso opuesto es precisamente lo que nos están preguntando, de manera que basta ver cuál es el número $n$ para el que la probabilidad del suceso $X=$"$n$ personas cumplen años en distintos días" sea menor del $50\%$. Hagamos los cálculos:
Nombrando al suceso $X_i=$"la $i$-ésima persona cumple años distinto día que el resto de las anteriores", se tiene que $P(X)=\prod_{i=2}^n P(X_i|X_{i-1}),$ considerando que $P(X_1)=1.$ $$\begin{align*} P(X_2|X_1)&=\frac{364}{365}\\ P(X_3|X_2)&=\frac{363}{365}\\ ...\\ P(X_n|X_{n-1})&=\frac{366-n}{365} \end{align*}$$Luego: $$P(X)=\frac{364!}{(365-n)! \cdot 365^{n-1}}$$y el primer $n$ que nos vale es $n=23,$ con $P(X)=0.4927...$ y por tanto la probabilidad que queríamos calcular es $1-P(X)=1-0.4927...=0.5072...$ Es decir, en una habitación con más de $23$ personas, la probabilidad de que dos de ellas cumplan años el mismo día es mayor que el $50\%.$

De hecho, lo que acabamos de calcular nos da mucha más información que esta. Si ahora en vez de buscar el $n$ que nos da una probabilidad del $50\%$ queremos buscarlo para que nos dé una probabilidad del $\alpha \%,$ podemos observar que estamos pidiendo:$$1-\alpha=\frac{364!}{(365-n)! \cdot 365^{n-1}}$$que equivale a pedir:$$\alpha=1-\frac{364!}{(365-n)! \cdot 365^{n-1}}.$$Esta igualdad la podemos considerar como la probabilidad del suceso $Y_n=$"en un grupo de $n$ personas al menos dos cumplen años el mismo día", es decir, $P(Y_n)=\alpha,$ y podemos ver qué pinta tiene esa función $(P(Y_n)).$ Deberíamos esperarnos que si $n$ es pequeño, la función también sea pequeña, y al contrario, si $n$ es grande, la probabilidad también tendría que ser grande, debería aproximarse a $1.$ Además, $n$ como máximo puede tomar el valor $365,$ puesto que si tenemos más de $365$ personas, al menos dos de ellas están obligadas a cumplir años el mismo día. Con todas estas consideraciones, veamos la gráfica:


Sorprendentemente, con $41$ personas, la probabilidad de que dos cumplan el mismo día ya es de más del $90\%.$ Si aumentamos a $47$ personas, la probabilidad ya es de más del $95\%,$ y con $57,$ la probabilidad es de más del $99\%$. Es decir, en una habitación con $57$ personas o más (por ejemplo una clase de universidad) podemos afirmar con casi total seguridad que al menos $2$ personas cumplen los años el mismo día.

Comentarios

  1. Martillo Pilón29 de diciembre de 2019 a las 23:28

    Recuerdo que este problema me lo contaron en una clase de Estadística en tercero de carrera, allá por el año 1995. En la clase no éramos más de 35 y había 3 personas con la misma fecha de cumpleaños.

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