Supremo e Ínfimo

El conjunto de los números reales tiene montones de propiedades que hacen que trabajar con él sea muy conveniente. El análisis real es una rama de las matemáticas que se dedica a estudiar lo que ocurre con los números reales (y con los objetos con los que están relacionados). Dentro de esta rama es donde se estudian las derivadas y las integrales que a todos nos suenan. Lo que vamos a ver hoy es una propiedad de los números reales que va a sernos especialmente útil cuando hablemos de sucesiones y de límites, la propiedad del supremo, que dice que en $\mathbb{R}$ todo conjunto acotado superiormente (resp. inferiormente) tiene supremo (resp. ínfimo).

CONJUNTOS ACOTADOS

La noción de lo que son los conjuntos acotados en $\mathbb{R}$ es bastante intuitiva. Diremos que $S\subset \mathbb{R}$ está acotado superiormente si hay algún número real que sea mayor que todo número de $S.$ Es decir, si $\exists \ r  \in \mathbb{R}: \ \forall s \in S, \ s\leq r.$ De forma similar, diremos que $I$ está acotado inferiormente si hay algún número real que sea menor que todo número de $I.$ Es decir, si $\exists \ r  \in \mathbb{R}: \ \forall t \in I, \ t\geq r.$ Además, si $A \subset \mathbb{R}$ está acotado inferiormente y superiormente entonces diremos que está acotado. Antes de avanzar veamos algunos ejemplos.

- El conjunto de los números naturales está acotado inferiormente por $1.$
- El conjunto $\left\lbrace x \in \mathbb{R}: \ x\leq 3 \right\rbrace$ está acotado superiormente por $3$
- El conjunto $\left\lbrace x \in \mathbb{R}:  \ -1\leq x\leq 7 \right\rbrace$ es acotado. Por abajo está acotado por $-1$ (también por $-2, -3, -2.5, \ ...$) y por arriba está acotado por $7$ (y también por cualquier número mayor que $7$).


SUPREMO E ÍNFIMO

Ahora que ya estamos en situación, veamos qué son el supremo y el ínfimo.
Sea $A$ un subconjunto de $\mathbb{R}$ acotado superiormente. El número real $s$ es supremo de $A$ si $s$ es una cota superior de $A$ (todo elemento de $A$ es menor que $s$) y para cualquier otra cota superior, $r,$ se tiene $s\leq r.$ Es decir, el supremo de un conjunto es la menor de sus cotas superiores.

De manera parecida se define el ínfimo:
Sea $A$ un subconjunto de $\mathbb{R}$ acotado inferiormente. El número real $t$ es ínfimo de $A$ si $t$ es una cota inferior de $A$ (todo elemento de $A$ es mayor que $t$) y para cualquier otra cota inferior, $r,$ se tiene $t\geq r.$ Es decir, el ínfimo de un conjunto es la mayor de sus cotas inferiores.

Es inmediato darse cuenta de que el supremo de un conjunto acotado superiormente es único, pues si hubiera dos distintos, ambos serían cotas superiores y uno sería menor que el otro, de modo que uno de ellos no sería la menor de las cotas superiores, y por tanto no sería supremo. Lo mismo ocurre con el ínfimo, también es único para cada conjunto acotado inferiormente.

Dicho esto, vamos a querer introducir otra forma de describir a los supremos y a los ínfimos, una forma que sea más fácil de manejar cuando hablemos también de límites. Esto requiere el siguiente lema, que es principalmente la esencia de lo que quiero ver en el post. Esto es porque la primera lectura lo hace parecer poco intuitivo, pero en cuanto se utiliza un par de veces se puede ver la potencia que tiene:

$\text{Lema.}$ Si $a\in \mathbb{R}$ es tal que  $0\leq a<\varepsilon$ para todo $\varepsilon>0$ real, entonces $a=0.$ 

Supongamos que $a>0,$ entonces si definimos $\varepsilon=\frac{a}{2} \in \mathbb{R},$ también es positivo y por tanto tendría que darse $0<\varepsilon=\frac{a}{2}<a,$ que es una contradicción.


Este lema nos permite demostrar la siguiente proposición, gracias a la cual podremos ver cuándo dos números son iguales sin necesidad de comernos la cabeza demasiado (la mayoría de las veces). Además, también nos permitirá definir de manera rigurosa lo que es un límite.

$\text{Prop.}$ Si $a,b\in \mathbb{R}$ cumplen  $|b-a|<\varepsilon$ para todo $\varepsilon>0$ real, entonces $a=b.$

Ahora veamos cómo podemos reformular lo que son los supremos e ínfimos para poder manejarlos mejor:
  1. Una cota superior, $s,$ de un conjunto superiormente acotado $S$ es supremo del mismo si y sólo si para todo $\varepsilon >0$ existe $u\in S$ tal que $s-u<\varepsilon.$
  2. Una cota inferior, $t,$ de un conjunto inferiormente acotado $I$ es ínfimo del mismo si y sólo si para todo $\varepsilon >0$ existe $l\in I$ tal que $l-t<\varepsilon.$
Es decir, $s$ será el supremo cuando por muy pequeño que sea el $\varepsilon>0$ que nos demos, siempre podamos encontrar un elemento del conjunto que esté por debajo de $s$ a una distancia $\varepsilon.$ De manera similar pero por arriba ocurre con el ínfimo: $t$ será el ínfimo cuando por muy pequeño que sea $\varepsilon>0,$ siempre podamos encontrar un elemento del conjunto que esté por encima a una distancia $\varepsilon.$
En realidad lo que hemos hecho es dar un par de proposiciones (que tendríamos que demostrar pero no vamos a hacerlo) que son equivalentes a la definición que hemos dado antes. Por último vamos a ver algunos ejemplos de supremos e ínfimos de subconjuntos de $\mathbb{R}.$

Si consideramos el conjunto $S=\left\lbrace x\in \mathbb{R}: \ 2\leq x<5 \right\rbrace=[2,5),$ que es acotado, sabemos que tiene supremo e ínfimo. El supremo es $5,$ ya que es la menor de las cotas superiores, y además, si tomamos por ejemplo $1>\varepsilon>0,$ entonces $4<5-\varepsilon<5$ y por tanto $5-\varepsilon=u \in [2,5).$ Si tomásemos $\varepsilon \geq 1$ entonces $5-\varepsilon\leq 4 \in [2,5).$ De la misma manera podemos comprobar que el ínfimo es $2.$


Consideramos ahora el conjunto $\left\lbrace \frac{1}{n}: \ n \in \mathbb{N} \right\rbrace.$ Es un conjunto acotado y cuyo supremo es $1.$ Por otro lado el ínfimo es $0,$ ya que dado $\varepsilon >0$ siempre existe un $m\in \mathbb{N}$ tal que $\frac{1}{m} < \varepsilon,$ ya que si no existiera, entonces $\frac{1}{\varepsilon}\geq m \ \forall m \in \mathbb{N},$ y los naturales estarían acotados (que sabemos que es falso).

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