PROBLEMA 3: Los números primos y su infinitud

Como todos bien sabemos, los números naturales ($n \in \mathbb{N}$) pueden expresarse todos como producto de primos, que son los números cuyos únicos divisores son ellos mismos y el número $1$ (aunque este no se considera un número primo). Es decir:$$\forall n \in \mathbb{N} \ \ \exists \ p_1,r_1, \ ... \ , p_k,r_k \in \mathbb{N}: \ \ n=p_1^{r_1} \cdot \ ... \ \cdot p_k^{r_k} \\ \text{donde  } p_i \text{  es primo para todo  }i=1,2,\ ... \ , k.$$Además sabemos que de números naturales hay una cantidad numerable (infinita, pero pequeña). El problema que planteamos hoy es el de dar una prueba (o al menos una idea para una prueba) que muestre que el conjunto de los números primos es infinito (y por tanto, numerable).

Como siempre, una solución la podéis encontrar en el desplegable que hay a continuación.

Vamos a probarlo por reducción al absurdo. Supongamos que hay un número finito de números primos: $p_1, \ ... \ , p_n.$ Podemos considerar el número $m=p_1 \cdot \ ... \ \cdot p_n +1,$ que es un número natural, y por tanto habrá de poder expresarse como producto de primos. Así, $m=p_{i_1}^{r_1} \cdot \ ... \ \cdot p_{i_k}^{r_k}$ para $k \leq n$ e $i_l=i_j$ si y sólo si $l = j,$ y donde todo $p_{i_j}$ es distinto de $1.$ Ahora bien, como todo $p_{i_j}^{r_j}$ divide a $m,$ entonces $p_{i_j}$ divide a $m$ y por tanto: $$ p_{i_j} \cdot a = p_1 \cdot \ ... \ \cdot p_{i_j}  \cdot \ ... \ \cdot p_n + 1 = p_{i_j}\cdot b +1$$luego: $$ p_{i_j} \cdot (a-b) = 1$$¡pero esto es una contradicción como una casa! La única manera de que esto fuera cierto sería si ambos $p_{i_j}$ y $(a-b)$ fueran $1$ ó $-1$ (a la vez). Sin embargo, $1<p_{i_j}$ es distinto de $1$ pues el $1$ no aparece en la factorización de $m$ en números primos (recordemos que $1$ no es primo).

Como hemos llegado a una contradicción, lo que hemos asumido al comienzo tiene que ser falso, y por tanto llegamos a que tiene que haber infinitos primos. Además, al ser todo número primo un número natural, el conjunto de números primos es subconjunto de $\mathbb{N},$ y por ser infinito habrá de ser numerable como vimos en el post de Contando Números.

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