PROBLEMA 4: Los Jugadores de Tenis

Silvia y Mario están jugando al tenis. Han llegado ambos a $40$ iguales. Si cuando están jugando Silvia normalmente gana a Mario con probabilidad $p$ en cada tirada (es decir, la probabilidad de que Silvia saque ventaja a Mario desde la posición de deuce es $p$), ¿cual es la probabilidad de que Silvia gane el juego estando en la posición de deuce? ¿Y de que lo gane Mario?

Podemos pensar que Silvia gana si o bien gana dos tiradas seguidas o bien consigue volver al deuce y gana entonces. Además, este mismo razonamiento vale para los casos en los que se produzcan deuces sucesivos, es decir, cuando Silvia no gane directamente desde ningún deuce. Si consideramos los sucesos $G \equiv$ "Silvia gana el juego" y $D_n \equiv$"la partida está entre el $n$ y el $(n+1)-$ésimo deuce": $$ G=\bigcup_{n=0}^{\infty} G \cap D_n$$y como no se pueden dar a la vez los sucesos $D_j$ y $D_k$ si $j \neq k$ pues la partida no puede estar en dos deuces distintos a la vez, la unión que aparece es disjunta, y podemos calcular las probabilidades: $$P(G)=\sum_{n=0}^{\infty} P(G \cap D_n)=\sum_{n=0}^{\infty} P(G | D_n) P(D_n).$$ Ahora bien, $P(G|D_n)$ es la probabilidad de ganar estando en el deuce $n-$ésimo, que es la probabilidad de acertar dos tiradas seguidas, es decir, $P(G|D_n)=p^2.$ 

Lo curioso del asunto viene ahora. $P(D_n)$ no lo conocemos explícitamente, pero podemos intentar relacionarlo con $P(D_{n+1}).$ Desde el $n-$ésimo deuce, podemos ir al $(n+1)-$ésimo deuce si acertamos una tirada y fallamos la siguiente o al revés, si primero fallamos y después acertamos. Por tanto: $$P(D_{n+1})=pqP(D_n)+qpP(D_n)=2pqP(D_n)$$donde $q=1-p.$ Podemos pensar en $P(D_n)$ como una sucesión: $\lbrace P_n \rbrace_{n=0}^{\infty}$ con $P_n=P(D_n),$ y como Silvia y Mario ya estaban en deuce desde el principio, $P_0=D_0=1,$ y esto nos da una sucesión que es solución de una recurrencia lineal. Como sabemos resolver estas recurrencias, hacemos las cuentas y es fácil ver que queda: $$ P_n=(2pq)^n$$lo cual tiene sentido porque $2p(1-p)\leq\frac{1}{2}<1$ y la probabilidad de hacer muchos deuces es muy baja. Enchufando esto en la suma de antes queda: $$\begin{align*} P(G) &=\sum_{n=0}^{\infty} P(G | D_n) P(D_n)= \sum_{n=0}^{\infty} p^2 (2pq)^n = \\ &= p^2 \sum_{n=0}^{\infty} (2pq)^n  =\frac{p^2}{1-2pq} .\end{align*}$$Por tanto la probabilidad de que Silvia gane estando en deuce es $\frac{p^2}{1-2pq}.$ Para calcular la probabilidad de que gane Mario basta con darse cuenta de que Mario gana si y sólo si pierde Silvia, y por tanto la probabilidad de que gane Mario es igual a la de que pierda Silvia, que es igual a $1-P(G)$ y por tanto Mario gana con probabilidad $1-\frac{p^2}{1-2pq}.$