Conjuntos II
En este post vamos a continuar hablando de conjuntos. Toda la notación está explicada en el post de Conjuntos I (enlace anterior), y la notación de lógica proposicional se explica más adelante. De cualquier manera no es pesada (son $2$ ó $3$ conceptos) y la puedes consultar en wikipedia. Ahora veamos cómo podemos hacer ciertas operaciones elementales con los conjuntos.
UNIONES E INTERSECCIONES
Supongamos que tenemos dos conjuntos, $A$ y $B$, y queremos considerar un conjunto $C$ cuyos elementos sean los elementos de $A$ y los de $B$ todos juntos. Es decir, podríamos pensar en ese conjunto como el más pequeño que contiene a $A$ y a $B$: $A \subset C$ y $B\subset C$. Diremos que $C$ es la unión de $A$ y $B: \ C=A\cup B,$ y $x \in A\cup B \Longleftrightarrow x \in A$ ó $x \in B.$ $$ A\cup B = \left\lbrace x: \ x \in A \vee x \in B \right\rbrace.$$Aquí $\vee$ es un símbolo en el lenguaje de la lógica proposicional que indica disyunción no excluyente (es un "o" no excluyente).
Por ejemplo, si $A=\left\lbrace 1, 2, 3 \right\rbrace$ y $B=\left\lbrace 9,5 \right\rbrace$ entonces $A\cup B = \left\lbrace 1,2,3,5,9 \right\rbrace.$ En el caso en el que haya un elemento que pertenezca a $A$ y a $B$ simultáneamente, no va a aparecer dos veces en $A\cup B,$ es decir, $\left\lbrace 1,2,2,3,1 \right\rbrace=\left\lbrace 1,1,1,1,2,2,3,3,3 \right\rbrace=\left\lbrace 1,2,3 \right\rbrace.$ (En la representación de un conjunto no se repiten sus elementos). Veamos otro ejemplo: $A=\left\lbrace \text{mesa, perro} \right\rbrace$ y $B=\left\lbrace 4,\text{maleta} \right\rbrace$ entonces $A\cup B= \left\lbrace 4,\text{ maleta, mesa, perro} \right\rbrace.$
De igual manera que la unión de $A$ y $B$ está formada por los elementos que están en $A$ o están en $B$ (e.d. los elementos de $A$ y los de $B$), podemos pensar en un conjunto, $D$, cuyos elementos sean aquellos que estén a la vez en $A$ y en $B$. En ese caso $D$ sería el mayor conjunto que cumple $D\subset A$ y $D \subset B.$ Diremos que $D$ es la intersección de $A$ y $B:$ $A\cap B,$ y $x \in A\cap B \Longleftrightarrow x \in A$ y $x \in B.$ $$ A\cap B = \left\lbrace x: \ x \in A \wedge x \in B \right\rbrace.$$Aquí $\wedge$ de nuevo es un símbolo en el lenguaje de la lógica proposicional pero esta vez indica conjunción (se lee "y").
Ahora veamos ejemplos. Si $A=\left\lbrace 1,3,8 \right\rbrace$ y $B=\left\lbrace 8,9 \right\rbrace$ entonces $A\cap B = \left\lbrace 8 \right\rbrace.$ Si pensamos en conjuntos sin elementos en común: $A=\left\lbrace 1,3 \right\rbrace, \ B=\left\lbrace 2 \right\rbrace,$ decimos que su intersección es vacía, esto es, su intersección es el conjunto vacío, que no tiene ningún elemento: $A\cap B = \emptyset.$
Vamos a introducir algo de notación: cuando tengamos $\left\lbrace A_i \right\rbrace_{i\in I}$ una colección de conjuntos donde $I$ es un conjunto de índices (por ejemplo $I$ podría ser $\left\lbrace 1,2,3 \right\rbrace$ y en ese caso la colección sería $\left\lbrace A_i \right\rbrace_{i=1}^{3},$ o por ejemplo $I$ podría ser $\mathbb{N}$ y entonces la colección sería $\left\lbrace A_i \right\rbrace_{i=1}^{\infty},$ o podría darse el caso en que $I$ fuera por ejemplo $\mathbb{R},$ etc.), vamos a denotar la intersección de todos los conjuntos por $\bigcap_{i\in I} A_i$ y la unión de todos ellos por $\bigcup_{i \in I} A_i.$
Ahora podemos ver cómo se comportan las uniones y las intersecciones entre sí, sabiendo que la disyunción distribuye a la conjunción y la conjunción a la disyunción. Consideremos tres conjuntos: $A, B$ y $C.$ Vamos a ver lo que ocurre con $\left( A \cup B \right) \cap C:$ $$x \in \left( A \cup B \right) \cap C \Leftrightarrow x \in A\cup B \wedge x \in C \Leftrightarrow \left( x \in A\vee x \in B \right) \wedge x \in C \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \left( x \in A\wedge x \in C \right) \vee \left( x \in B\wedge x \in C \right) \Leftrightarrow x \in \left( A \cap C \right) \cup \left( B \cap C \right). $$Conclusión:$$ \left( A \cup B \right) \cap C = \left( A \cap C \right) \cup \left( B \cap C \right) $$Es decir, la intersección distribuye a la unión. Haciendo un poco de esfuerzo podemos ver también que la unión también distribuye a la intersección:$$\left( A \cap B \right) \cup C = \left( A \cup C \right) \cap \left( B \cup C \right)$$Estas relaciones se pueden establecer entre un número arbitrario $n$ de conjuntos, y se llega a fórmulas muy largas (y poco interesantes desde nuestro punto de vista). Por ahora sólo queremos explorar un poco y ver qué ocurre de manera más inmediata con los conceptos que estamos viendo.
EL CONJUNTO VACÍO
El conjunto vacío $\left(\emptyset \right)$ es el conjunto sin elementos. Ahí dentro no vive nadie. Se toma por convenio que su cardinal es $Card\left(\emptyset\right)=0$ (tiene sentido porque no tiene elementos, diríamos que tiene $0$ elementos). Conviene observar que el conjunto vacío es subconjunto de cualquier conjunto. Es decir, $\emptyset \subset X, \ \forall X$ conjunto. Además, se puede afirmar cualquier cosa sobre un elemento del conjunto vacío, por ejemplo: si $x \in \emptyset$ entonces $x \in \mathbb{N}$ , o "$x$ es de color blanco", o "el cielo es rosa", ... Esto ocurre porque no tiene sentido tomar un $x\in \emptyset$ puesto que no existe, no hay nada dentro de $\emptyset.$ El conjunto vacío es uno de esos conceptos que parece que no tiene mucha chicha pero luego resulta ser mucho más complicado de lo que parece.
LOS COMPLEMENTARIOS
Vamos a pensar ahora en que tenemos un conjunto $X$ y dentro de este tenemos un subconjunto $A\subset X.$ Sería razonable considerar el subconjunto de $X$ que está formado por los elementos que están en $X$ y no en $A,$ es decir, $\left\lbrace x\in X: \ x \notin A \right\rbrace.$ Este conjunto se conoce como el "conjunto diferencia entre $X$ y $A$" o el "complementario de $A$ en $X$", y se suele denotar:$$A^c=X\setminus A=\left\lbrace x\in X: \ x \notin A \right\rbrace.$$Para evitar confusiones es mejor utilizar la notación $X\setminus A$: imaginemos $A\subset X \subset Y$. Aquí $A^c$ depende de si nos referimos al complementario de $A$ dentro de $X$ o dentro de $Y$, pues en dichos dos casos son conjuntos distintos: $X\setminus A$ e $Y\setminus A.$
Si imaginamos la situación $A, B \subset X$ subconjuntos de $X$, podemos ver un par de cosas que ocurren con los complementarios:
De igual manera que la unión de $A$ y $B$ está formada por los elementos que están en $A$ o están en $B$ (e.d. los elementos de $A$ y los de $B$), podemos pensar en un conjunto, $D$, cuyos elementos sean aquellos que estén a la vez en $A$ y en $B$. En ese caso $D$ sería el mayor conjunto que cumple $D\subset A$ y $D \subset B.$ Diremos que $D$ es la intersección de $A$ y $B:$ $A\cap B,$ y $x \in A\cap B \Longleftrightarrow x \in A$ y $x \in B.$ $$ A\cap B = \left\lbrace x: \ x \in A \wedge x \in B \right\rbrace.$$Aquí $\wedge$ de nuevo es un símbolo en el lenguaje de la lógica proposicional pero esta vez indica conjunción (se lee "y").
Ahora veamos ejemplos. Si $A=\left\lbrace 1,3,8 \right\rbrace$ y $B=\left\lbrace 8,9 \right\rbrace$ entonces $A\cap B = \left\lbrace 8 \right\rbrace.$ Si pensamos en conjuntos sin elementos en común: $A=\left\lbrace 1,3 \right\rbrace, \ B=\left\lbrace 2 \right\rbrace,$ decimos que su intersección es vacía, esto es, su intersección es el conjunto vacío, que no tiene ningún elemento: $A\cap B = \emptyset.$
Vamos a introducir algo de notación: cuando tengamos $\left\lbrace A_i \right\rbrace_{i\in I}$ una colección de conjuntos donde $I$ es un conjunto de índices (por ejemplo $I$ podría ser $\left\lbrace 1,2,3 \right\rbrace$ y en ese caso la colección sería $\left\lbrace A_i \right\rbrace_{i=1}^{3},$ o por ejemplo $I$ podría ser $\mathbb{N}$ y entonces la colección sería $\left\lbrace A_i \right\rbrace_{i=1}^{\infty},$ o podría darse el caso en que $I$ fuera por ejemplo $\mathbb{R},$ etc.), vamos a denotar la intersección de todos los conjuntos por $\bigcap_{i\in I} A_i$ y la unión de todos ellos por $\bigcup_{i \in I} A_i.$
Ahora podemos ver cómo se comportan las uniones y las intersecciones entre sí, sabiendo que la disyunción distribuye a la conjunción y la conjunción a la disyunción. Consideremos tres conjuntos: $A, B$ y $C.$ Vamos a ver lo que ocurre con $\left( A \cup B \right) \cap C:$ $$x \in \left( A \cup B \right) \cap C \Leftrightarrow x \in A\cup B \wedge x \in C \Leftrightarrow \left( x \in A\vee x \in B \right) \wedge x \in C \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \left( x \in A\wedge x \in C \right) \vee \left( x \in B\wedge x \in C \right) \Leftrightarrow x \in \left( A \cap C \right) \cup \left( B \cap C \right). $$Conclusión:$$ \left( A \cup B \right) \cap C = \left( A \cap C \right) \cup \left( B \cap C \right) $$Es decir, la intersección distribuye a la unión. Haciendo un poco de esfuerzo podemos ver también que la unión también distribuye a la intersección:$$\left( A \cap B \right) \cup C = \left( A \cup C \right) \cap \left( B \cup C \right)$$Estas relaciones se pueden establecer entre un número arbitrario $n$ de conjuntos, y se llega a fórmulas muy largas (y poco interesantes desde nuestro punto de vista). Por ahora sólo queremos explorar un poco y ver qué ocurre de manera más inmediata con los conceptos que estamos viendo.
EL CONJUNTO VACÍO
El conjunto vacío $\left(\emptyset \right)$ es el conjunto sin elementos. Ahí dentro no vive nadie. Se toma por convenio que su cardinal es $Card\left(\emptyset\right)=0$ (tiene sentido porque no tiene elementos, diríamos que tiene $0$ elementos). Conviene observar que el conjunto vacío es subconjunto de cualquier conjunto. Es decir, $\emptyset \subset X, \ \forall X$ conjunto. Además, se puede afirmar cualquier cosa sobre un elemento del conjunto vacío, por ejemplo: si $x \in \emptyset$ entonces $x \in \mathbb{N}$ , o "$x$ es de color blanco", o "el cielo es rosa", ... Esto ocurre porque no tiene sentido tomar un $x\in \emptyset$ puesto que no existe, no hay nada dentro de $\emptyset.$ El conjunto vacío es uno de esos conceptos que parece que no tiene mucha chicha pero luego resulta ser mucho más complicado de lo que parece.
LOS COMPLEMENTARIOS
Vamos a pensar ahora en que tenemos un conjunto $X$ y dentro de este tenemos un subconjunto $A\subset X.$ Sería razonable considerar el subconjunto de $X$ que está formado por los elementos que están en $X$ y no en $A,$ es decir, $\left\lbrace x\in X: \ x \notin A \right\rbrace.$ Este conjunto se conoce como el "conjunto diferencia entre $X$ y $A$" o el "complementario de $A$ en $X$", y se suele denotar:$$A^c=X\setminus A=\left\lbrace x\in X: \ x \notin A \right\rbrace.$$Para evitar confusiones es mejor utilizar la notación $X\setminus A$: imaginemos $A\subset X \subset Y$. Aquí $A^c$ depende de si nos referimos al complementario de $A$ dentro de $X$ o dentro de $Y$, pues en dichos dos casos son conjuntos distintos: $X\setminus A$ e $Y\setminus A.$
Si imaginamos la situación $A, B \subset X$ subconjuntos de $X$, podemos ver un par de cosas que ocurren con los complementarios:
- Si $A \subset B$ entonces $B^c \subset A^c$
- $\left(A\cup B\right)^c = A^c \cap B ^c$
Ambas se pueden demostrar probando las inclusiones $\subset$ y $\supset$ (porque vimos que $\subset$ es una relación de orden) utilizando las reglas de lógica proposicional (entre otras las Leyes de Demorgan).
PRODUCTO CARTESIANO
Para terminar, vamos a ver brevemente lo que es el producto cartesiano de dos conjuntos. Si tenemos $X$ e $Y$ conjuntos, podemos mirar al conjunto $Z$ que tenga las posibles parejas de elementos de $X$ y elementos de $Y$, es decir, el conjunto de $\left( x,y \right)$ parejas de elementos tales que $x \in X,$ e $y \in Y.$ Así se define el producto cartesiano de $X$ e $Y:$ $$X \times Y = \left\lbrace \left(x,y \right): \ x \in X, \ y \in Y \right\rbrace.$$Por ejemplo, en el caso $X=Y=\mathbb{R},$ podemos pensar en el producto cartesiano $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$ denotado como $\mathbb{R}^2$ como el plano cartesiano que todos conocemos, el que podemos representar en una hoja de papel, y $\left( \mathbb{R}\times \mathbb{R} \right) \times \mathbb{R}=\mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}=\mathbb{R}^3$ podemos pensar que es el espacio tridimensional.
En los siguientes posts veremos más sobre conjuntos y sobre algunas cosas curiosas que ocurren si la teoría que explica cómo manejarlos no está bien definida.
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