La Recta Real

En este post vamos a comenzar una colección relacionada con el cálculo en una variable. Vamos a ver algunos objetos que podemos considerar en el conjunto de números reales y vamos a ir aprendiendo a utilizarlos y ver cómo detrás de cada elemento matemático siempre hay una razonamiento relativamente "simple".

LA RECTA REAL

Ya hemos hablado anteriormente de cómo los números reales son el primer conjunto que se nos viene a la cabeza y del cual podemos pensar que "no deja huecos" cuando lo representamos gráficamente. Es decir, si pensamos en poner cada número en un punto de una línea recta (de menor a mayor), entonces este conjunto es el primero que llena la recta entera sin dejar huecos. Para esto es esencial la propiedad del supremo, de la cual ya hablamos en el anterior post. Lo que veremos ahora son algunas propiedades algebraicas de $\mathbb{R},$ la función valor absoluto y cómo $\mathbb{R}$ es un espacio métrico, que le otorga una serie de propiedades muy buenas.

PROPIEDADES ALGEBRAICAS DE $\mathbb{R}$

Los números reales forman un cuerpo, es decir, un anillo conmutativo con unidad y en el cual todo elemento (salvo el $0$) tiene inverso multiplicativo. Además, por ser un cuerpo es también un tipo de anillo especial llamado dominio (o dominio de integridad) que posee la propiedad de que si $a$ y $b$ son ambos distintos de $0$ entonces $a\cdot b$ también es distinto de $0.$ Esto no se cumple en cualquier tipo de anillo, pero sí en $\mathbb{R}.$ También ocurre que en $\mathbb{R},$ por ser un grupo abeliano (con la operación suma), la ecuación $x+a=a$ tiene solución única y es $x=0.$ Estas propiedades nos permiten trabajar con ecuaciones con números reales de forma cómoda y poder deducir muchos resultados.

EL VALOR ABSOLUTO

La función valor absoluto es una función definida en $\mathbb{R}$ definida de la forma: $$|x|=\begin{cases} \ \ \  x &\text{ si }x\geq 0 \\-x &\text{ si } x<0 \end{cases}$$ es decir, si un número es positivo (o $0$) entonces su valor absoluto es él mismo, y si es negativo, su valor absoluto es él mismo pero cambiado de signo (para que sea positivo). Por tanto siempre se tiene $x\leq |x|$ y si nos fijamos bien, también se tiene $-|x|\leq x,$ es decir, con poco esfuerzo se puede ver $-|x|\leq x \leq |x|.$
Ahora, si nos damos un número real $b\geq 0$ y otro número $a,$ podemos pensar en cuándo $|a|\leq b.$ No es difícil darse cuenta de que esto ocurre si y sólo si $-b\leq a \leq b$ y de la misma forma ocurriría si hubiésemos considerado la desigualdad estricta, habríamos obtenido el mismo resultado pero con las desigualdades estrictas.

Estas dos pequeñas observaciones son las que nos van a permitir demostrar un resultado muy útil: la desigualdad triangular, que entre otras cosas permite considerar el valor absoluto de la diferencia de dos números como una distancia entre ellos dos, y dota al conjunto de números reales de una métrica, de manera que lo convierte en un espacio métrico, (cosa que es muy conveniente). Vamos a enunciarla:

$\text{Teorema (Desigualdad Triangular).}$ Sean $a,b \in \mathbb{R}.$ Entonces $|a+b|\leq |a|+|b|.$

Sean $a,b\in \mathbb{R}.$ Hemos visto que tenemos las desigualdades $-|a|\leq a \leq |a|$ y $-|b|\leq b \leq |b|.$ Sumándolas, obtenemos $-(|a|+|b|)\leq a+b \leq |a|+|b|.$ Aplicando la segunda observación que hemos hecho antes, tenemos $|a+b|\leq |a|+|b|$ y hemos terminado.


DISTANCIAS

Ahora veamos lo que es una distancia en matemáticas y veamos que precisamente el valor absoluto nos produce una función distancia. En matemáticas, dado un conjunto $X$ y una función $d:X\times X \longrightarrow \mathbb{R},$ decimos que $d$ es una distancia (o métrica) en $X$ cuando cumple:
  1. $d(x,y)\geq 0$ para todo $x,y \in X$ y $d(x,y)=0 \Longleftrightarrow x=y.$
  2. $d(x,y)=d(y,x)$ para todo $x,y \in X.$
  3. $d(x,y)\leq d(x,z) + d(z,y)$ para todo $x,y,z \in X.$
Además, se llama espacio métrico al par $\left(X,d\right),$ o simplemente se dice que $X$ es un espacio métrico con la métrica (o distancia) dada por $d.$

Retomando lo que nos interesa: en efecto, si definimos $d(x,y)=|y-x|$ podemos ver que se cumplen las tres propiedades anteriores y por tanto $d$ es una distancia en $\mathbb{R}.$ Ésta es la distancia habitual en $\mathbb{R},$ la más intuitiva; sin embargo, no es la única que podemos definir en $\mathbb{R},$ se nos pueden ocurrir muchísimas distancias distintas.

Vamos a ver que $d(x,y)=|y-x|$ cumple las $3$ propiedades anteriores:

  1. Es evidente que $d(x,y)=|y-x|\geq 0,$ pues $|a| \geq 0\ \forall a \in \mathbb{R},$ y si $x,y \in \mathbb{R},$ entonces $y-x \in \mathbb{R}.$
  2. Es fácil ver que $|a|=|-a|,$ y por tanto: $$d(x,y)=|y-x|=|-(y-x)|=|x-y|=d(y,x).$$
  3. Si tenemos $x,y,z\in \mathbb{R},$ utilizando la desigualdad triangular tenemos el desarrollo: $$ \begin{align*}d(x,y) &=|y-x|=|y-z+z-x| \leq |y-z|+|z-x|=\\ &=d(z,y)+d(x,z)=d(x,z)+d(z,y). \end{align*}$$Luego $d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y).$


INTERVALOS Y ENTORNOS

Para finalizar el post, vamos a echarle un vistazo a un par de conceptos que podemos precisar ahora que tenemos la noción de lo que es la distancia habitual de $\mathbb{R}.$ De un conjunto que contenga a un número en particular, $x,$ vamos a decir que es un entorno suyo. Además, normalmente nos vamos a referir a unos entornos en particular que son las "bolas". Dado un punto, $x,$ y un radio, $r,$ llamaremos "bola abierta centrada en $x$ y de radio $r$" al conjunto: $$B_r(x)=B(x,r)=\left\lbrace y \in \mathbb{R}: \ d(x,y)=|y-x| < r \right\rbrace.$$De manera similar diremos que la bola es cerrada cuando la desigualdad no sea estricta y lo denotaremos por $\overline{B_r(x)}=\overline{B(x,r)}.$ Esto último de abierto y cerrado tiene que ver con la topología de $\mathbb{R},$ y para lo que vamos a ver nosotros no nos es necesario por ahora, pero está bien utilizar la notación adecuada.

Si nos fijamos bien, en $\mathbb{R}$ podemos pensar en los entornos de los puntos como los trozos de la recta real dentro de los cuales están dichos puntos. En particular, una bola de centro $x$ y radio $r$ es un trozo de la recta real que tiene al punto $x$ y a todos los que estén a una distancia menor que $r$ de $x$, es decir:
$$B_r(x)=\left\lbrace y\in \mathbb{R}: \ x-r < y < x+r \right\rbrace.$$Esto es un ejemplo de un intervalo. Dependiendo de si los extremos están o no, hay $4$ tipos de intervalos distintos:
  1. $(a,b)=\left\lbrace y\in \mathbb{R}: \ a< y < b \right\rbrace$
  2. $[a,b)=\left\lbrace y\in \mathbb{R}: \ a\leq y < b \right\rbrace$
  3. $(a,b]=\left\lbrace y\in \mathbb{R}: \ a< y \leq b \right\rbrace$
  4. $[a,b]=\left\lbrace y\in \mathbb{R}: \ a \leq y \leq b \right\rbrace$
El primero se conoce como intervalo abierto, y el cuarto como intervalo cerrado. Las bolas abiertas de centro $x$ y radio $r$ son lo mismo que intervalos abiertos de la forma $(x-r,x+r),$ y las cerradas son de la forma $[x-r,x+r].$

Comentarios

Publicar un comentario

Frecuentes

Aplicaciones Lineales, Isomorfismos y Cambio de Base

Recapitulemos un poco antes de comenzar: hemos visto que todo espacio vectorial tiene una base , e.d. un conjunto de vectores linealmente independientes que lo generan. También hemos visto que podemos representar cada vector del espacio mediante sus coordenadas respecto de una base , y que estas pueden ser distintas en función de la base que tomemos. Habíamos dejado planteadas algunas cuestiones sin resolver, como cómo operar con coordenadas y cómo hacer el cambio de coordenadas en función de qué base tomemos. En el post de hoy vamos a resolver estas cuestiones, para lo cual hablaremos de las aplicaciones lineales y de la matriz de cambio de base. APLICACIONES LINEALES En matemáticas, una vez definida una estructura, lo normal es preguntarse cómo pueden ser las aplicaciones entre ese tipo de estructura. El ejemplo que conocemos por ahora es el de aplicaciones entre conjuntos . Las aplicaciones entre dos conjuntos que respetan la estructura de con...
ENTRAR

Recurrencias Lineales no Homogéneas

En el anterior post vimos cómo resolver recurrencias lineales de la forma: $$\begin{align} a_n=B_1 a_{n-1} + \ ... \ + B_{k}a_{n-k}\end{align} $$con $B_j \in \mathbb{R}$ y $B_k \neq 0.$ Es decir, vimos cómo es posible dar una fórmula explícita para $a_n$ que únicamente dependa de $n.$ Estas son las llamadas recurrencias lineales homogéneas. En este post vamos a intentar generalizar y dar una solución explícita para recurrencias que tienen la forma: $$ \begin{align} a_n=B_1 a_{n-1} + \ ... \ + B_{k}a_{n-k} + f(n)\end{align} $$donde $f$ es una función de $\mathbb{N}$ a $\mathbb{R}$ no nula (el caso en el que $f \equiv 0$ es el caso homogéneo que hemos tratado en el anterior post). Estas últimas se conocen como recurrencias lineales no homogéneas. Además en ambos casos los coeficientes $B_j\in \mathbb{R}$ son constantes. Si fueran funciones que dependen de $n$ el tema se complicaría más y no vamos a tratar esos casos por ahora. Por los mismos motivos que en el post anterior, vamos a...
ENTRAR

Relaciones de Orden y de Equivalencia

Vamos a introducir el concepto de lo que es una relación de equivalencia y después veremos lo que es una relación de orden. (La palabra $\text{Def}$ introducirá siempre una nueva definición y $\text{Obs}$ denotará una observación). El post de hoy es un poco más técnico, pero no es difícil de comprender, sobre todo si te animas a coger un papel y un lápiz y comprobar que lo que vamos a ir haciendo tiene sentido. Este tipo de herramientas son de las más básicas en matemáticas y por eso no conviene reducirlas a meros comentarios, puesto que entonces muchos desarrollos carecerían de sentido. Así que no te asustes, y pongámonos manos a la obra. RELACIONES DE EQUIVALENCIA $\text{Def.}$ Dado un conjunto , $X$, una relación de equivalencia, $R$, es una relación binaria en $X$ (relaciona un par de elementos de $X$, digamos $x$ e $y,$ y se lee $xRy:$ $x$ está relacionado con $y$), que cumple las siguientes tres propiedades: Reflexiva:  todo elemento de $X$ está relacionado consigo m...
ENTRAR

El Teorema del Sándwich

Imagen
En el post anterior vimos lo que eran las sucesiones de números reales, los límites de estas y dejamos planteadas algunas preguntas que iremos respondiendo a lo largo de los siguientes posts. Lo que veremos hoy son varios resultados sobre sucesiones de números reales que pueden resultar interesantes e intuitivos y distintos ejemplos de cómo calcular límites de sucesiones utilizando estos resultados. PROPIEDADES DE LOS LÍMITES En el anterior post terminamos hablando de cómo los límites se comportan bien con las operaciones que conocemos en $\mathbb{R},$ pero no demostramos el resultado. Lo que haremos a continuación es investigar un poco una idea que nos va a ayudar a demostrarlo. Vamos a suponer que tenemos dos sucesiones. Una de ellas es constante: $\left\lbrace c_n \right\rbrace_{n=1} ^ \infty, \ \ c_n = c \ \ \forall n \in \mathbb{N}$ para cierto $0<c\in \mathbb{R}$ un número real fijo, y la otra sucesión converge a $0:$  $\left\lbrace a_n \right\rbrace_{n=1}^...
ENTRAR

Aplicaciones y Cardinales

Imagen
APLICACIONES Y FUNCIONES Si acabas de llegar al blog, esta entrada está muy relacionada con la anterior: conjuntos , de modo que leerla te ayudaría a comprender lo que vamos a discutir a continuación. En matemáticas, dados dos conjuntos (digamos $X$ e $Y$), una aplicación de $X$ en $Y$ es una regla que a cada elemento de $X$ le asigna un elemento de $Y$. Digamos que nuestra aplicación se llama $f$, entonces lo denotamos así: $f:X \longrightarrow Y$. La noción de aplicación es muy natural, y no es difícil pensar en ejemplos de aplicaciones: de hecho uno muy habitual es tomando $X=\left\lbrace \text{productos de un supermercado} \right\rbrace$ e $Y=\left\lbrace \text{precios de dichos productos en ese supermercado} \right\rbrace$. Definiendo la aplicación $f:X \longrightarrow Y$ que manda cada producto que puedes comprar en su precio, tenemos una aplicación. Por ejemplo, $f$ lleva una pera en su precio (en ese mercado). En general, si $x$ es un elemento de $X$, e $y$ es...
ENTRAR