Contando Números
EL INFINITO DE LOS NATURALES
El ejemplo de infinito más accesible quizá sea el de los números naturales $\left(\mathbb{N}=\left\lbrace 1,2,3, \ ... \right\rbrace \right).$ Este conjunto es infinito, lo cual es fácil de ver: si fuera finito, podríamos decir que hay un número natural mayor que todos los demás, digamos $n.$ Sin embargo, sabemos que $n+1$ es natural si $n$ es natural, y $n+1>n,$ de modo que habríamos llegado a que $n$ no es la cota superior que habíamos establecido: hemos llegado a una contradicción, luego nuestra hipótesis de que $n$ era el mayor número natural debe ser errónea. Por tanto $\mathbb{N}$ es infinito.
Además, me atrevo a afirmar que es el conjunto infinito más pequeño de todos los conjuntos infinitos. Es decir, si consideramos que $A$ es un conjunto infinito y es más pequeño que $\mathbb{N},$ entonces son igual de grandes. Formalmente:
$\text{Obs:}$ Si $A$ es infinito y $|A| \leq_C |\mathbb{N}|$ entonces $|A|=_C |\mathbb{N}|.$
Vamos a querer probar dos cosas: la primera es que si $A$ es un conjunto como el de la afirmación, entonces podemos establecer una biyección entre $A$ y un subconjunto de $\mathbb{N}.$ La segunda es que cualquier subconjunto de $\mathbb{N}$ o bien es finito o bien está en biyección con $\mathbb{N},$ es decir, tiene el mismo cardinal que $\mathbb{N},$ y por tanto es infinito.
Para probar lo primero: Si $|A| \leq_C |\mathbb{N}|$ entonces existe $f:A \longrightarrow \mathbb{N}$ inyectiva. Consideramos ahora $Im(f)=\left\lbrace n\in \mathbb{N}: \ \exists a \in A, \ n=f(a) \right\rbrace,$ es decir, $Im(f)$ es la imagen de $A$ por $f,$ el conjunto de elementos de $\mathbb{N}$ que son imagen de elementos de $A.$ Esto lo que significa es que si tenemos un elemento $a \in A,$ su imagen por $f,$ $f(a)$ (siempre) está en $Im(f).$ Una observación fácil que podemos hacer sobre $Im(g)$ (aquí $g$ es una función cualquiera, no la $f$ de antes) es que si tomamos $g:A \longrightarrow Im(g),$ entonces $g$ es sobreyectiva. La razón es que si tomamos un $b\in Im(g),$ por definición de la imagen, sabemos que tiene que haber un $a\in A$ tal que $b=g(a).$ Por tanto, como en nuestro caso $f$ también es inyectiva, tenemos que $f$ es biyectiva sobre $Im(f),$ y también sabemos $Im(f)\subset \mathbb{N}$ porque $f$ va de $A$ a $\mathbb{N}.$
Para probar lo segundo, démonos un subconjunto de $\mathbb{N},$ y llamémoslo por ejemplo $M.$ Sabemos que o bien $M$ es finito o bien es infinito. Si es finito no hay problema, pero si es infinito queremos ver que está en biyección con los naturales. Supongamos que es infinito. Como el conjunto de números naturales está bien ordenado (esto es que dado cualquier subconjunto suyo podemos encontrar un elemento del subconjunto menor que el resto), podemos ordenar $M$ de menor a mayor (en realidad la manera rigurosa de hacerlo sería considerar $m_1=\text{min}\left( M\right)$, después $m_2=\text{min} \left( M\setminus \left\lbrace m_1 \right\rbrace \right), \ ... ,\ m_i=\text{min} \left( M\setminus \left\lbrace m_1,m_2,\ ..., m_{i-1} \right\rbrace \right), \ ... $). Así tenemos $M$ ordenado y podemos expresarlo como $M=\left\lbrace m_1,m_2,m_3,\ ... \right\rbrace$ donde además $m_i > m_{i-1},$ y la biyección ahora ya es clara: $h(n)=m_n.$ Es inyectiva pues $m_i=m_j \Leftrightarrow i=j$ y es sobreyectiva porque dado $m_n \in M,$ podemos garantizar que $m_n=h(n).$
Juntando ambas partes de la demostración tenemos que $f:A \longrightarrow Im(f)$ es una biyección, luego como $A$ es infinito, $Im(f)$ también lo es, y además $Im(f)\subset \mathbb{N},$ de modo que hay otra biyección entre $Im(f)$ y $\mathbb{N}.$ Por tanto, hay una biyección entre $A$ y $\mathbb{N}$ (por ser una relación de equivalencia) y se tiene $|A|=_C|\mathbb{N}|.$
Bien, ahora ya sabemos que el conjunto de números naturales es el conjunto más pequeño con infinitos elementos. Además hemos demostrado también que si $A$ es un subconjunto infinito de $\mathbb{N}$, entonces $|A|=_C|\mathbb{N}|.$ En particular esto nos dice que hay tantos números pares como impares, potencias de 2, potencias de 3, potencias de $n \in \mathbb{N}$, números primos, múltiplos de 3, múltiplos de $m\in \mathbb{N}$ y como números naturales. En general, cualquier subconjunto infinito de $\mathbb{N}$ tiene tantos elementos como $\mathbb{N},$ lo cual no es para nada intuitivo. Ya habíamos visto algo parecido cuando hablamos del Hotel de Hilbert. Para referirnos a estos conjuntos diremos que son numerables, es decir, si un conjunto tiene el mismo cardinal que $\mathbb{N}$ entonces es numerable.
Sin embargo conocemos muchos más conjuntos de números que también son infinitos y que son "más grandes" que $\mathbb{N}.$ Vamos a analizar lo que pasa con con $\mathbb{Z},$ $\mathbb{Q}$ y $\mathbb{R}$.
EL INFINITO DE LOS ENTEROS
La idea que queremos explorar ahora es si el infinito de $\mathbb{Z}$ es mayor que el de $\mathbb{N}$ o no. Hemos visto que cuando tratamos con conjuntos infinitos ocurren cosas extrañas y que aunque ocurra $\mathbb{N}\subset \mathbb{Z},$ que implica $|\mathbb{N}|\leq_C |\mathbb{Z}|$ esto no nos garantiza que $|\mathbb{N}|\neq_C |\mathbb{Z}|.$ Por tanto nuestra actitud frente a esta cuestión debería ser cautelosa: quizá sí que se de el caso $|\mathbb{N}|=_C |\mathbb{Z}|,$ y por esta razón deberíamos intentar demostrarlo. Si no llegamos a nada al cabo de unos intentos entonces ya podríamos plantearnos intentar ver que $|\mathbb{N}|\neq_C |\mathbb{Z}|.$
Si lo pensamos, no es difícil darse cuenta de que podemos ordenar $\mathbb{Z}$ de manera que a cada número natural le siga su correspondiente número negativo: $$\mathbb{Z}=\left\lbrace 0,1,-1,2,-2,3,-3,\ ...\right\rbrace.$$Así estamos haciendo una lista ordenada de los números enteros de forma parecida a como los naturales están ordenados. De hecho, si pensamos en: $$\begin{align*}
f:\mathbb{N} \longrightarrow &\ \mathbb{Z}\\
1 \mapsto &\ 0 \\
2 \mapsto &\ 1 \\
3 \mapsto &\ -1 \\
4 \mapsto &\ 2 \\
5 \mapsto &\ -2 \\
...&
\end{align*}$$podemos darnos cuenta de que es una biyección:\[
f(n) =
\begin{cases}
\frac{n}{2} &\text{ si }n \text{ es par}\\
-\frac{n-1}{2}&\text{ si }n \text{ es impar}\\
\end{cases}
\]Los números naturales pares van a parar a los enteros positivos y los impares van a parar a los enteros negativos (y el $0$). ¡Hay biyección entre $\mathbb{N}$ y $\mathbb{Z}$!
La conclusión es que los números naturales y los enteros tienen el mismo cardinal: hay tantos números naturales como enteros, y por tanto $\mathbb{Z}$ es numerable, de nuevo un resultado que es increíble.
EL INFINITO DE LOS RACIONALES
Vamos a recordar quiénes eran los números racionales:$$\mathbb{Q}=\left\lbrace \frac{p}{q}: \ p \in \mathbb{Z}, q \in \mathbb{N} \right\rbrace.$$Se definen así porque no queremos que $q$ sea $0$ en ningún caso, y además tenemos que contemplar los números negativos. En resumen: los números racionales son las fracciones. Sabemos que $\mathbb{N}\subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q},$ y por tanto hay infinitos números racionales. La pregunta es si de nuevo ocurre que hay tantos racionales como enteros y como naturales. La respuesta es sorprendentemente que sí. Aunque parezca que hemos aumentado mucho la cantidad de números con respecto a los que teníamos en $\mathbb{Z},$ en realidad no hemos hecho nuestro conjunto tan grande. De hecho, nuestro conjunto sigue teniendo huecos (¡y muy grandes!), como hablábamos hace unos días. En este ejemplo no vamos a ver cuál es la biyección en particular, pero sí vamos a motivarla mediante un diagrama desde el cual se intuye cómo ordenar los elementos de $\mathbb{Q}$ en una lista:
Podemos pensar en el punto $\left(p,q \right)$ del plano como el número racional $\frac{p}{q},$ y teniendo en cuenta que $\frac{p\cdot a}{q\cdot a}=\frac{p}{q},$ podemos llenar todo $\mathbb{Q}$ si pasamos una vez por cada punto $\left(p,q \right)$ donde $p$ y $q$ son coprimos (no tienen factores en común). Por ejemplo, si pasamos por $\left(1,2 \right)$ no vamos a pasar por $\left(2,4 \right)$ ni por $\left(3,6 \right),$ etc.
EL INFINITO DE LOS REALES
Llegados a este punto se nos debería ocurrir que los números reales son igual de infinitos que el resto de conjuntos de números que conocemos, que no tienen nada especial. Desafortunadamente para el lector, eso no es cierto. Los números reales son aún más infinitos que todos los anteriores. Este fue uno de los grandes hallazgos de Cantor. Hasta entonces se pensaba que todos los conjuntos infinitos eran igual de grandes, es decir, que sólo había un infinito. La forma de verlo es muy curiosa, y no es difícil de entender, es un argumento por reducción al absurdo (llamado "diagonal de Cantor"): suponemos que el conjunto de números reales entre $0$ y $1$ es numerable y llegamos a una contradicción, por lo tanto no puede ser cierto que sea numerable. Como $[0,1]\subset \mathbb{R},$ se tiene $|[0,1]|\leq_C |\mathbb{R}|$ y por tanto $\mathbb{R}$ no es numerable.
Antes de hacer la demostración, vamos a ver que de hecho $|[0,1]|=_C |[a,b]|=_C|\mathbb{R}|.$ Para la primera parte podemos utilizar la función $f:[0,1] \longrightarrow [a,b]$ con $f(t)=a(1-t)+bt.$ Es fácil comprobar que es inyectiva y también sobreyectiva, de manera que es biyectiva y por tanto $|[0,1]|=_C |[a,b]|.$ Para la segunda parte podemos utilizar lo primero con $a=-\frac{\pi}{2}$ y $b=\frac{\pi}{2},$ y $f(t)=\tan (t)$ en $t\in [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}],$ que es biyectiva y su imagen es $\mathbb{R},$ y por tanto $|[0,1]|=_C|[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]|=_C \mathbb{R}.$
Supongamos que el conjunto $[0,1]$ es numerable. Entonces sus elementos podrían enumerarse en una lista:$$\begin{align*}
x^1&=0.\ x^{1}_{1}\ x^{1}_{2}\ x^{1}_{3}\ x^{1}_{4}\ ...\\
x^2&=0.\ x^{2}_{1}\ x^{2}_{2}\ x^{2}_{3}\ x^{2}_{4}\ ...\\
x^3&=0.\ x^{3}_{1}\ x^{3}_{2}\ x^{3}_{3}\ x^{3}_{4}\ ...\\
x^4&=0.\ x^{4}_{1}\ x^{4}_{2}\ x^{4}_{3}\ x^{4}_{4}\ ...\\
&\ ...
\end{align*}$$en la cual cada número $x^i$ está en su expresión decimal, es decir, $x^i_j$ es un número entero entre $0$ y $9.$ Todo número en $[0,1]$ puede ser expresado así, incluyendo el $1$, que es igual que $0.9999...$ Ahora vamos a construir un número $y=0.\ y_1 \ y_2 \ y_3 \ ...$ en $[0,1]$ que no pueda estar en la lista. Para ello tomamos su primer decimal como $x^1_1+1$ si $x^1_1 \neq 9$ y $0$ si $x^1_1=9.$ Por tanto nuestro nuevo número, $y,$ será distinto de $x^1$ porque tienen el primer decimal distinto. Hacemos lo mismo con el segundo decimal de $x^2.$ Nuestro número $y$ difiere de $x^1$ en el primer decimal y de $x^2$ en el segundo, luego ha de ser distinto de ambos. Para el tercer decimal hacemos lo mismo pero con $x^3.$ En general:\[
y_n =
\begin{cases}
x^n_n+1 &\text{ si }x^n_n\neq 9\\
0 &\text{ si } x^n_n = 9\\
\end{cases}
\]Por tanto $y$ es distinto de cualquier número de la lista, porque si $x^m$ es de la lista, $y_m$ es distinto de $x_m^m$ para todo $m\in \mathbb{N}.$ Por tanto hemos encontrado un número en $[0,1]$ que no está en la lista, pero hemos supuesto que como $[0,1]$ es numerable, todos sus elementos están en la lista, luego no puede ser que sea numerable.
La conclusión que sacamos de todo esto es que hay un infinito más grande que el infinito numerable, que es el infinito de $\mathbb{R},$ el infinito no numerable. Así que para rellenar todos los huecos de la recta se necesitan muchos más números que los racionales. Ahora podemos pensar en si existen conjuntos infinitos con cardinal mayor que el de los números reales, es decir, si existen infinitos más grandes que el infinito de $\mathbb{R}.$ En el siguiente post intentaremos resolver estas cuestiones (hasta cierto punto) y veremos más curiosidades sobre los dos infinitos que hemos hallado.
Gran post, Jaime. Tremenda lucha entre la intuición más simple y más humana y la abstracción de los infinitos. Mamma mía!!!
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