El Hotel de Hilbert II

En el post anterior vimos lo que eran las relaciones de orden y de equivalencia, y en particular vimos cuál era la relación de orden $\leq_C$ y la relación de equivalencia $=_C.$ Si no lo has leído todavía, quizá te sirva para entender mejor lo que vamos a discutir a continuación.
Hoy veremos la interpretación del problema del hotel de Hilbert.

LOS NÚMEROS NATURALES

Ya hemos visto cómo podemos hacer para contar elementos de un conjunto finito cualquiera. Ahora vamos a querer contar los infinitos. El primer conjunto infinito que nos debe sonar es el de los números naturales: $\mathbb{N}=\left\lbrace 1, 2, 3, \ ... \right\rbrace$. Normalmente se denota a su cardinal por $Card(\mathbb{N})=\aleph_0$, y pensándolo en términos "numéricos", diríamos $Card(\mathbb{N})=\infty$, puesto que hay infinitos números naturales. Sin embargo no todos los infinitos son iguales, y si conseguimos encontrar un conjunto $A$ cuyo cardinal sea mayor que el de $\mathbb{N}$, desde luego no va a ser finito, y por tanto no tendría mucho sentido decir que $\infty = Card(\mathbb{N} ) < Card(A) = \infty$ (estaríamos diciendo $\infty <  \infty$). Por este motivo no podemos pensar en desigualdades entre cardinales de conjuntos como desigualdades entre números. Si los conjuntos son finitos, coinciden, pero si no lo son, deberíamos precisar un poco más. Por eso utilizaremos la "desigualdad" $\leq_C$ y la "igualdad" $=_C$ para cardinales de conjuntos. Además diremos que se da la "desigualdad estricta" $<_C$ cuando se de $\leq_C$ y no se de $=_C$ (es decir, se dará $\neq_C$), y ésta simbolizará que los cardinales de los dos conjuntos implicados son estrictamente distintos, y uno es "mayor" que el otro.

CONJUNTOS NUMERABLES

Ahora que hemos formalizado un poco la manera de trabajar con cardinales de conjuntos, vamos a lo que realmente nos interesa. Para empezar, diremos que un conjunto es numerable si podemos establecer una biyección entre él mismo y los números naturales. Es decir, si tiene el mismo cardinal que $\mathbb{N}$. También diremos que un conjunto $A$ es no numerable cuando $Card(\mathbb{N})<_{C} Card(A)$. De forma fácil de entender, un conjunto numerable es aquél en el cual podemos ordenar sus elementos como lo haríamos con los números naturales: $A=\left\lbrace a_1, a_2, a_3, \ ... \right\rbrace$. Diremos que un conjunto es contable si es finito o es numerable. Lo que vamos a ver ahora son algunos ejemplos muy curiosos de conjuntos numerables y no numerables.

$\text{Ejemplo. El hotel de Hilbert.}$ El ejemplo que vamos a ver es la teoría detrás de las soluciones a los problemas presentados en la famosa historia del hotel infinito de Hilbert. El primer problema que se presenta se traduce al lenguaje matemático como "probar que "$Card(\mathbb{N})=_{C}Card(\mathbb{N}\cup \left\lbrace 0 \right\rbrace )$", e.d. dar una biyección entre $\mathbb{N}$ y $\mathbb{N}\cup \left\lbrace 0 \right\rbrace $". En este caso basta con definir $f:\mathbb{N} \longrightarrow \mathbb{N}\cup \left\lbrace 0 \right\rbrace$ dada por:
\[ 
f(n) =
     \begin{cases}
       0 \text{ si }n=1\\
       n-1 \text{ si }n\geq 2\\
     \end{cases}
\]El segundo problema se correspondía con ver que hay tantos números pares como números naturales, es decir, si $2\mathbb{N}=\left\lbrace 2, 4, 6, 8, \ ... \right\rbrace$ es el conjunto de números pares, entonces $Card(\mathbb{N})=_{C}Card(2\mathbb{N})$, para lo cual vale con tomar $f(n)=2n$.

El tercer problema plantea ver que la unión numerable de conjuntos numerables es numerable. Es decir, que si tenemos $\left\lbrace A_i \right\rbrace_{i=0}^{\infty}$ con cada $A_i$ numerable, entonces $\bigcup_{i=0}^{\infty} A_i$ también es numerable. En este caso vamos a verlo con el Teorema de Cantor - Bernstein. Si consideramos $P_i=\left\lbrace (p_i)^k: \ k \in \mathbb{N} \right\rbrace$ el conjunto de potencias del $i$-ésimo número primo, es fácil ver que $b_i:\mathbb{N} \longrightarrow P_i$ dada por $b_i(n)=(p_i)^n$ es biyectiva y por tanto podemos identificar $P_i$ con $A_i$ pues ambos son numerables  $\forall i \in \mathbb{N}$. Ahora definimos $f:\bigcup_{i=0}^{\infty} A_i \longrightarrow \mathbb{N}$ mediante $f(a_{i,j})=(p_i)^j=b_i(j)$. Es fácil ver que $f$ es inyectiva (y es sobreyectiva sobre $\bigcup_{i=0}^{\infty} P_i$).

Ahora falta ver una función inyectiva de $\mathbb{N}$ en $\bigcup_{i=0}^{\infty} A_i$. Nos basta tomar $g(n)=a_{1,n}$. Por el teorema, sabemos que existe una función biyectiva entre los dos conjuntos que queríamos y por tanto tienen el mismo cardinal. En el ejemplo del hotel, la función que dábamos era de hecho una biyección, que no solamente caía en los números que fueran potencias de números primos, sino que también rellenaba el resto de números.

Lo que acabamos de ver son unos pocos ejemplos muy particulares de conjuntos de cardinal numerable. Estos conjuntos son "tan grandes" como $\mathbb{N}$ pero intuitivamente no parece tener mucho sentido, en particular porque muchos son subconjuntos del propio conjunto $\mathbb{N}.$
En el siguiente post comentaremos algunos resultados sobre los conjuntos numerables y veremos algunos conjuntos de números que aún conteniendo a $\mathbb{N},$  tienen su mismo cardinal.