Límites Superior e Inferior

Este post va a estar relacionado con los tres anteriores: Límite de una Sucesión, El Teorema del Sándwich y Sucesiones Monótonas; especialmente con este último, ya que también hablaremos sobre los resultados que en él vimos y el último ejemplo que estudiamos (sobre la sucesión $\left( 1+ \frac{1}{n}\right)^n \big)$.

Vamos a introducir una notación para aclarar las referencias a cada sucesión. Para referirme a una sucesión $\lbrace a_n \rbrace_{n=1}^{\infty}$ que ya he introducido utilizaré la notación $\lbrace a_n \rbrace,$ y para referirme a su $n-$ésimo término simplemente escribiré $a_n,$ como es lógico.

Hasta ahora hemos visto cómo cuando tenemos una sucesión de números reales, esta puede converger o diverger. Si diverge puede hacerlo esencialmente de dos maneras: la primera es que se va hacia $\infty$ o $-\infty,$ en cuyo caso decimos que tiende a $\infty$ o a $-\infty$ y "tiene límite". La segunda es que la sucesión no haga esto (por ejemplo que la sucesión oscile y su valor absoluto no tienda a $0$). Lo que vamos a introducir en este post son dos herramientas útiles que podemos utilizar siempre para estudiar los límites de sucesiones: el límite superior y el límite inferior.

$\text{Def.}$ Dada una sucesión de números reales $\left\lbrace a_n \right\rbrace_{n=1}^{\infty},$ definimos:

1. $\underset{n \to \infty}{\limsup} a_n = \underset{n \in \mathbb{N}}{\inf }\underset{k \geq n}{\sup} a_k.$
2. $\underset{n \to \infty}{\liminf} a_n = \underset{n \in \mathbb{N}}{\sup }\underset{k \geq n}{\inf} a_k.$

La idea que hay detrás de esta definición es la siguiente.

Cuando consideramos la sucesión $\left\lbrace s_n \right\rbrace_{n=1}^{\infty}$ definida de la forma $s_n=\underset{k \geq n}{\sup} a_k,$ sabemos que si $\lbrace a_n \rbrace$ converge entonces es acotada y por tanto $\lbrace s_n \rbrace$ es una sucesión de números reales, y además es decreciente, pues $\underset{k \geq n}{\sup} a_k \geq \underset{k \geq n+1}{\sup} a_k,$ ya que en  el primer caso estamos tomando el supremo de un conjunto que contiene al del segundo caso: $\lbrace a_k: \ k \geq n+1 \rbrace \subset \lbrace a_k: \ k \geq n \rbrace,$ luego o ambos tienen el mismo supremo o el supremo del primero es $a_n.$ Por tanto $\lbrace s_n \rbrace$ es decreciente y por ser $\lbrace a_n \rbrace$ acotada, es acotada inferiormente y por tanto también lo es $\lbrace s_n \rbrace.$ Así pues $\lbrace s_n \rbrace$ es decreciente y acotada inferiormente, luego según lo que vimos en el post anterior, debe ser convergente, y su límite debe ser el ínfimo del conjunto de términos de la sucesión: $\lim_{n \to \infty} s_n = \inf_{n \in \mathbb{N}} s_n,$ o escrito con detalle: $$\underset{n \to \infty}{\lim}s_n = \underset{n \in \mathbb{N}}{\inf }\underset{k \geq n}{\sup} a_k$$que es precisamente $\limsup_{n \to \infty} a_n.$ Por otro lado vamos a suponer que $a_n$ no es convergente. Entonces podemos seguir considerando la sucesión $\lbrace s_n  \rbrace$ definida de la misma manera, y en el caso de que $a_n \to \infty\ (-\infty)$ cuando $n \to \infty$ se tiene que "$s_n = \infty \ (-\infty)$". Por tanto siempre existe el límite superior de una sucesión de números reales: es una herramienta que siempre podemos utilizar. De manera análoga podíamos haber hecho todos estos razonamientos con $\left\lbrace r_n \right\rbrace_{n=1}^{\infty}$ definida como $r_n=\underset{k \geq n}{\inf} a_k,$ llegando a que es una sucesión creciente y acotada superiormente (si $a_n$ es acotada, si no es acotada le ocurre lo mismo que en el caso del límite superior). En resumen: siempre vamos a poder calcular el límite superior y el límite inferior de una sucesión, sea convergente o no, y quizá en función de estos dos valores vamos a poder deducir cosas sobre la sucesión.

Ahora vamos a hacer un par de observaciones que nos permitirán aprovechar estas dos herramientas para entender mejor las sucesiones reales. La primera:

$\text{Obs.}$ Si $\left\lbrace a_n \right\rbrace_{n=1}^{\infty}$ es una sucesión de números reales, entonces: $$ \underset{n \to \infty}{\liminf} a_n \leq \underset{n \to \infty}{\limsup} a_n. $$

Basta recordar que el límite conserva las desigualdades, luego como para todo $n \in \mathbb{N}$ se tiene que $r_n=\inf\lbrace a_k: \ k \geq n\rbrace \leq \sup\lbrace a_k: \ k \geq n\rbrace=s_n,$ podemos tomar límites cuando $n \to \infty$ en ambos lados de la desigualdad y, de acuerdo con la idea que hemos explorado antes, llegamos al resultado que nos propone la observación.

La segunda observación es algo más sutil, pero es mucho más útil. Vamos a ver que si $\left\lbrace a_n \right\rbrace_{n=1}^{\infty}$ converge entonces sus límites superior e inferior coinciden con el límite de $\lbrace a_n \rbrace:$

$\text{Obs.}$ Si $\left\lbrace a_n \right\rbrace_{n=1}^{\infty}$ es una sucesión de números reales que converge a cierto $L \in \mathbb{R}$ entonces: $$ \underset{n \to \infty}{\liminf} a_n = \underset{n \to \infty}{\limsup} a_n = L. $$

Si $L$ es el límite de $a_n$ entonces dado $\varepsilon > 0$, para todo $n>N_{\varepsilon}$ tenemos que $|a_n-L|< \varepsilon,$ es decir, $a_n \in (L- \varepsilon, L+ \varepsilon),$ luego en particular: $$L- \varepsilon \leq \inf \lbrace a_k: \ k > n \rbrace \leq \sup \lbrace a_k: \ k > n \rbrace \leq L+{\varepsilon}$$luego si tomamos límites cuando $n \to \infty,$ tenemos: $$L - \varepsilon \leq \underset{n \to \infty}{\liminf} a_n \leq \underset{n \to \infty}{\limsup} a_n \leq L+ \varepsilon$$y como $0<\varepsilon$ es arbitrario, tenemos: $$ \underset{n \to \infty}{\liminf} a_n = \underset{n \to \infty}{\limsup} a_n = L. $$

Ahora lo que deberíamos pensar es en si el recíproco se da: como siempre podemos encontrar los límites superior e inferior, si estos fueran iguales, ¿sería la sucesión convergente? La respuesta a esta pregunta es la clave de la utilidad de ambas herramientas, pues en ese caso la sucesión sí sería convergente, como veremos a continuación.

$\text{Teorema.}$ Si $\left\lbrace a_n \right\rbrace_{n=1}^{\infty}$ es una sucesión de números reales con $\underset{n \to \infty}{\liminf} a_n = \underset{n \to \infty}{\limsup} a_n $ entonces: $$\exists \underset{n \to \infty}{\lim}a_n = \underset{n \to \infty}{\liminf} a_n = \underset{n \to \infty}{\limsup} a_n. $$

En el caso en el que ambos límites son $\infty$ o $-\infty$ es fácil de comprobar que entonces $a_n \to \infty$ o $a_n \to -\infty.$ Si $\underset{n \to \infty}{\liminf} a_n = \underset{n \to \infty}{\limsup} a_n = L$ entonces la cosa no es tan fácil. Vamos a empezar trabajando con el límite superior.

Sea $\varepsilon > 0:$ $$ \underset{n \to \infty}{\limsup} a_n = L \Rightarrow \exists s_{\varepsilon} \in \left\lbrace \sup\lbrace a_k: \ k \geq n \rbrace: \ n \in \mathbb{N} \right\rbrace \ : \ s_{\varepsilon}-L < \varepsilon$$y de hecho $s_{\varepsilon} = \sup \lbrace a_k: \ k \geq N_{\varepsilon} \rbrace.$ Ahora, como la sucesión $\left\lbrace \sup\lbrace a_k: \ k \geq n \rbrace \right\rbrace_{n=1}^{\infty}$ hemos visto que es decreciente (y de hecho es acotada inferiormente por $L$) podemos fijarnos en que para todo $n \geq N_{\varepsilon}$ tenemos $a_n \leq \sup \lbrace a_k: \ k \geq n \rbrace \leq s_{\varepsilon}$ y podemos restar $L$ a esta desigualdad para obtener: $$a_n-L \leq \sup \lbrace a_k: \ k \geq n \rbrace -L \leq s_{\varepsilon}-L < \varepsilon $$luego está claro que $a_n - L < \varepsilon$ si $n > N_{\varepsilon}.$

Ahora trabajemos con el límite inferior. Para el mismo $\varepsilon$ que teníamos antes: $$ \underset{n \to \infty}{\liminf} a_n = L \Rightarrow \exists r_{\varepsilon} \in \left\lbrace \inf\lbrace a_k: \ k \geq n \rbrace: \ n \in \mathbb{N} \right\rbrace \ : \ L-r_{\varepsilon} < \varepsilon$$y de hecho $r_{\varepsilon} = \inf \lbrace a_k: \ k \geq M_{\varepsilon} \rbrace.$ Ahora, como la sucesión $\left\lbrace \inf\lbrace a_k: \ k \geq n \rbrace \right\rbrace_{n=1}^{\infty}$ hemos visto que es creciente (y de hecho es acotada superiormente por $L$) podemos fijarnos en que para todo $n \geq M_{\varepsilon}$ tenemos $a_n \geq \inf \lbrace a_k: \ k \geq n \rbrace \geq r_{\varepsilon}$ y podemos restar $L$ a esta desigualdad para obtener: $$a_n-L \geq \inf \lbrace a_k: \ k \geq n \rbrace -L \geq r_{\varepsilon}-L $$y si ahora la multiplicamos toda ella por $-1$ queda: $$L-a_n \leq L- \inf \lbrace a_k: \ k \geq n \rbrace \leq L- r_{\varepsilon} < \varepsilon $$luego está claro que $L- a_n < \varepsilon$ si $n > M_{\varepsilon}.$

Por tanto, si $n > \max\lbrace N_{\varepsilon},M_{\varepsilon} \rbrace$ entonces combinando las dos desigualdades a las que hemos llegado, queda $|a_n-L|<\varepsilon,$ y como hemos elegido $\varepsilon>0$ arbitrario, tenemos que $L$ es el límite de $a_n$ cuando $n \to \infty.$

EJEMPLO

Finalmente vamos a relacionar el ejemplo que vimos en el anterior post con un resultado curioso utilizando estas herramientas que acabamos de ver.

Habíamos visto que la sucesión $\left\lbrace \left( 1+ \frac{1}{n} \right)^n \right\rbrace_{n=1}^{\infty}$ es creciente y acotada superiormente (por $3$) y por tanto es convergente. Además habíamos nombrado a su límite: $e.$ Sin embargo uno se puede ver tentado a decir que en realidad la sucesión tiende a $1,$ puesto que a uno lo que le gustaría hacer es lo siguiente: $$ \lim_{n \to \infty} \left( 1+ \frac{1}{n} \right)^n = \left( 1+ \frac{1}{\infty} \right)^{\infty} = 1^{\infty} = 1$$sin embargo todas las igualdades de este desarrollo están mal. Además, como hemos probado que la sucesión es creciente, es fácil darse cuenta de que el límite no es $1,$ precisamente calculando el primer término obtenemos:$$a_1=\left( 1+ \frac{1}{1} \right)^1 =2 > 1$$y al ser creciente su límite tiene que ser mayor o igual que $2$ y por tanto no es $1.$ Además, como la sucesión está acotada por $3$ (como vimos anteriormente) el límite tiene que ser algún número real entre $2$ y $3.$ Nuestro objetivo ahora es determinar una expresión más razonable para $e,$ algo que podamos entender o manejar con más facilidad que el límite por el que lo hemos definido.

Empezamos desarrollando $ \left( 1+ \frac{1}{n} \right)^n $ con la ayuda de la fórmula del binomio de Newton: $$\begin{align*} \left( 1+ \frac{1}{n} \right)^n &= \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \frac{1}{n^k} = \sum_{k=0}^n \frac{n(n-1) \ ... \ (n-k+1)}{n^k} \frac{1}{k!} = \\ &= \sum_{k=0}^n \frac{n}{n} \frac{n-1}{n} \ ... \ \frac{n-k+1}{n} \frac{1}k! = \\ &= \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!} \prod_{j=1}^{k-1} \frac{n-j}{n} = \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!} \prod_{j=1}^{k-1} \left(1-\frac{j}{n} \right)  \end{align*}$$y podemos observar que cada uno de los términos del producto son menores o iguales que $1,$ y por tanto podemos estimar:$$ \left( 1+ \frac{1}{n} \right)^n \leq \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!}.$$ Tomando límites cuando $n$ tiende a $\infty$ se obtiene: $$e \leq \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!}.$$Ahora podemos considerar solo los $m$ primeros términos del desarrollo anterior, tomando $m \in \mathbb{N}$ un número fijo con $m<n:$ $$\sum_{k=0}^m \frac{1}{k!} \prod_{j=1}^{k-1} \left(1-\frac{j}{n} \right) \leq \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!} \prod_{j=1}^{k-1} \left(1-\frac{j}{n} \right) = \left( 1+ \frac{1}{n} \right)^n $$esta desigualdad se obtiene viendo que todos los términos de la suma son positivos, y por tanto la suma hasta $n$ es igual a la suma hasta $m$ más unos pocos términos más ($n-m$) todos positivos. Ahora, como los límites superiores e inferiores conservan las desigualdades, al igual que lo hacen los límites, tomando límites superiores en $n$ obtenemos: $$ \underset{n \to \infty}{\limsup} \sum_{k=0}^m \frac{1}{k!} \prod_{j=1}^{k-1} \left(1-\frac{j}{n} \right) \leq \underset{n \to \infty}{\limsup} \left( 1+ \frac{1}{n} \right)^n = \lim_{n \to \infty} \left( 1+ \frac{1}{n} \right)^n = e$$puesto que sabemos que la sucesión converge, y por tanto el límite superior coincide con el límite. Si ahora nos fijamos en la parte izquierda: $$ \underset{n \to \infty}{\limsup} \sum_{k=0}^m \frac{1}{k!} \prod_{j=1}^{k-1} \left(1-\frac{j}{n} \right) = \lim_{n \to \infty} \underset{l \geq n}{\sup} \sum_{k=0}^m \frac{1}{k!} \prod_{j=1}^{k-1} \left(1-\frac{j}{l} \right)$$y si nos fijamos bien, $\left(1-\frac{j}{l} \right)<1$ se hace más proximo a $1$ conforme $l$ crece para cada $j$ fijo, $j<k-1 \leq m$. De hecho, si $l \to \infty$ entonces $\left(1-\frac{j}{l} \right) \to 1$ y por tanto el supremo en los $l \geq n$ va a ser cuando $l \to \infty,$ y tendremos que ese producto tenderá a $1:$ $$ \lim_{n \to \infty} \underset{l \geq n}{\sup} \sum_{k=0}^m \frac{1}{k!} \prod_{j=1}^{k-1} \left(1-\frac{j}{l} \right) = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^m \frac{1}{k!} = \sum_{k=0}^m \frac{1}{k!}.$$Por tanto tenemos: $$  \sum_{k=0}^m \frac{1}{k!} \leq  e \leq \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!} $$y si tomamos límites cuando $m \to \infty:$ $$\lim_{m \to \infty} \sum_{k=0}^m \frac{1}{k!} \leq  e \leq \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!}$$y por tanto llegamos a que: $$e = \lim_{n \to \infty}  \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!}.$$ La forma de interpretar sumas en las que el número de sumandos tiende a infinito es como la "suma infinita" o la suma de "infinitos términos". De hecho veremos más adelante que estas sumas se llaman series y se definen de esta misma forma: $\sum_{k=1}^{\infty} a_k = \underset{n \to \infty}{\lim}\sum_{k=1}^n a_k.$

Así: $$e= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} = 1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\frac{1}{5!}+...$$¡Bravo! De esta manera, como $n!$ se hace muy grande cuando $n$ se hace grande, $\frac{1}{n!}$ se hace muy pequeño, y podemos tomar aproximaciones de $e$ muy buenas con muy poco esfuerzo. Si tomamos los $11$ primeros sumandos: $\sum_{n=0}^{10} \frac{1}{n!}$ el resultado que nos queda es: $2.7182818011...$ mientras que $e=2.7182818284...$ de manera que el error ha aparecido en la octava cifra decimal ¡tan solo tomando once términos!