Espacios Vectoriales

ESPACIOS VECTORIALES

En matemáticas a menudo nos interesamos por identificar estructuras. Por ejemplo, en el post Conjuntos y Operaciones vimos cómo cuando establecemos operaciones en un conjunto se inducen unas ciertas estructuras (siempre que se cumplan ciertas condiciones). En este post vamos a echarle un ojo a la estructura de espacio vectorial. Antes de eso vamos a recordar los conceptos de grupo, anillo y cuerpo.

GRUPOS
$\text{Def.}$ Decimos que la estructura $(G,+)$ es un grupo si $G$ es un conjunto dotado de una operación, $+,$ y cumple:
  1. $+$ es una operación cerrada en $G.$
  2. $(G,+)$ tiene elemento neutro.
  3. Todo elemento de $G$ tiene un opuesto con respecto a $+$.
  4. $+$ es asociativa.
Si además se cumple:
  1. $+$ es conmutativa
entonces el grupo se llama "conmutativo" o abeliano.

ANILLOS
$\text{Def.}$ Decimos que la estructura $(A,+,\cdot)$ es un anillo si $(A,+)$ es un grupo abeliano y con respecto a $\cdot $ se cumplen:
  1. $\cdot$ es una operación cerrada en $A.$
  2. $\cdot$ es asociativa.
  3. $\cdot $ distribuye a $+.$
Si además:
  1. $(A,\cdot)$ tiene elemento neutro
se dice que $(A,+,\cdot)$ es unitario, y si:
  1. $\cdot$ es conmutativa
entonces se dice que $(A, +, \cdot)$ es un anillo conmutativo.

CUERPOS
$\text{Def.}$ Decimos que la estructura $(K,+,\cdot)$ es un cuerpo si $(K,+,\cdot)$ es un anillo conmutativo con unidad y además se cumple:
  1. Todo elemento de $K$ tiene inverso con respecto a $\cdot$ (salvo el neutro para la suma).


Un espacio vectorial va a ser una estructura (dos conjuntos y tres operaciones, suma, producto y producto por un escalar) en la que vamos a permitir que la suma de elementos y el producto por escalares se queden dentro del espacio (de manera similar a como esto ocurre para los vectores del plano).
$\text{Def.}$ Decimos que el par $E=(K,G)$ es un espacio vectorial si $K$ es un cuerpo, $G$ un grupo abeliano y hay una operación: $\varphi: K \times G \longrightarrow G$ que asigna $(\lambda,u) \mapsto \varphi (\lambda, u) \underset{\text{not.}}{=} \lambda u$ que cumple:
  • Existe un elemento neutro $e \in K$ para $\varphi:$  $eu=u$ para todo $u \in G.$
  • Para todo $\lambda, \mu \in K, \ u \in G:$  $\lambda (\mu u) = (\lambda \cdot \mu )u.$
  • La operación $\varphi$ distribuye a la suma en $G$: $\lambda(u+v)=\lambda u + \lambda v$ para todos los $\lambda \in K, \ u,v \in G.$
  • La operación $\varphi$ distribuye a la suma en $K$: $(\lambda + \mu) u=\lambda u + \mu u$ para todos los $\lambda, \mu \in K, \ u \in G.$
La definición es bastante abstracta pero normalmente en el uso que hacemos de estas estructuras conocemos ambos conjuntos con los que tratamos y la operación $\varphi$ también es conocida. De hecho en la notación que hemos dado para $\varphi$ se ve cómo esta se interpreta como un producto, entonces muchas veces pensaremos en un espacio vectorial como un conjunto en el que fucionan la suma de vectores (elementos del grupo) y el producto de un vector por un escalar (un elemento del cuerpo) Habitualmente trataremos con espacios vectoriales en los que $\varphi$ será el producto de números reales o de vectores de números reales (elementos de $\mathbb{R}^n$). Vamos a ver algunos ejemplos de espacios vectoriales para hacernos una idea más tangible de lo que son.

El conjunto $\mathbb{R}$ es, con la operación de suma que conocemos, un grupo abeliano, y si añadimos el producto habitual que conocemos se convierte en un cuerpo. Por tanto podemos pensar en la estructura $(\mathbb{R},\mathbb{R})$ como un espacio vectorial. De hecho para abreviar simplemente decimos "$\mathbb{R}$ con la estructura de espacio vectorial". En esta estructura los elementos del grupo (los vectores) son los números reales, y los elementos del cuerpo (escalares) también son los números reales. Verifiquemos que $\mathbb{R}$ es un espacio vectorial:

Ya sabemos que $(\mathbb{R},+)$ es un grupo abeliano y que $(\mathbb{R},+, \cdot)$ es un cuerpo. Únicamente falta comprobar las propiedades de la definición. Vamos a tomar $\varphi$ como el producto que conocemos en $\mathbb{R}.$ Entonces:

  • $1$ es el elemento neutro: $1 \cdot u = 1.$
  • El producto en $\mathbb{R}$ es asociativo, de manera que la segunda propiedad es inmediata.
  • El producto distribuye a la suma en $\mathbb{R},$ de manera que la tercera propiedad también es inmediata.
  • Esta última propiedad es la misma que la anterior en este caso, luego también se cumple.
Así pues, $\mathbb{R}$ puede verse como un espacio vectorial.


El conjunto $\mathbb{R}^n = \left\lbrace (u_1, \ ... \ ,u_n): u_i \in \mathbb{R} \ \ \forall i \in \lbrace 1, \ ... \ , n\rbrace \right\rbrace$ debería resultarnos muy familiar. Cuando $n=2$ tenemos el plano cartesiano que a todos nos resulta conocido. Si $n=3$ obtenemos un espacio tridimensional. Este espacio es el lugar donde viven los vectores que todos conocemos y habremos estudiado en algún momento. Podemos dotarlo de una operación muy natural, la suma. Para sumar dos vectores en $\mathbb{R}^n$ sumamos cada una de sus componentes: $$ (u_1, \ ... \ ,u_n) + (v_1, \ ... \ ,v_n)  = (u_1+v_1, \ ... \ ,u_n+v_n)$$de manera que al lado izquierdo de la igualdad tenemos la suma de vectores en $\mathbb{R}^n$ definida en función de la suma en $\mathbb{R}$ que ya conocíamos. No es difícil demostrar que con la suma que acabamos de definir, $\mathbb{R}^n$ es un grupo abeliano. Además, sabemos que $\mathbb{R}$ es un cuerpo, de manera que podemos mirar a ver si $(\mathbb{R},\mathbb{R}^n)$ es un espacio vectorial con alguna operación $\varphi.$ Lo más natural es definir, de nuevo, $\varphi$ como un producto: $$\lambda (u_1, \ ... \ ,u_n) =  (\lambda u_1, \ ... \ , \lambda u_n)$$para los $\lambda \in \mathbb{R}.$ No es difícil comprobar que con $\varphi,$ $(\mathbb{R},\mathbb{R}^n)$ es un espacio vectorial:

  • $1$ es el elemento neutro: $1 u = 1 (u_1, \ ... \ ,u_n) = (u_1, \ ... \ ,u_n). $
  • Si tomamos $\lambda, \mu \in \mathbb{R}$ y $u \in \mathbb{R}^n$ tenemos: $$\begin{align*} \lambda (\mu u) &= \lambda \left( \mu (u_1, \ ... \ , u_n) \right) = \lambda \left(  (\mu u_1, \ ... \ , \mu u_n) \right) = \\ &= (\lambda \mu u_1, \ ... \ , \lambda \mu u_n) = (\lambda \mu ) (u_1, \ ... \ , u_n) = (\lambda \mu) u. \end{align*}$$
  • El producto por un escalar distribuye a la suma de vectores. Tomando $\lambda \in \mathbb{R}$ y $u,v \in \mathbb{R}^n:$ $$\begin{align*}  \lambda (u+v) &= \lambda(u_1+v_1, \ ... \ , u_n+v_n) = \left(\lambda (u_1+v_1), \ ... \ , \lambda (u_n+v_n)\right) = \\ &= \left(\lambda u_1+ \lambda v_1, \ ... \ , \lambda u_n+ \lambda v_n \right)= \lambda (u_1, \ ... \ , u_n) + \lambda (v_1, \ ... \ , v_n) = \\ &= \lambda u + \lambda v. \end{align*}$$
  • El producto por un escalar distribuye a la suma de escalares. Tomando $\lambda, \mu \in \mathbb{R}$ y $u \in \mathbb{R}^n:$ $$\begin{align*} (\lambda + \mu) u &= (\lambda + \mu)  (u_1, \ ... \ , u_n) = \left( (\lambda + \mu)u_1, \ ... \ , (\lambda + \mu)u_n \right) = \\ &= \left( \lambda u_1 + \mu u_1, \ ... \ , \lambda u_n + \mu u_n \right) = \lambda(u_1, \ ... \ , u_n) + \mu(u_1, \ ... \ , u_n) = \\ &=\lambda u + \mu u.\end{align*}$$
Las operaciones pueden realizarse con algún que otro paso intermedio más (me he saltado alguno) pero las comprobaciones quedan así. Por tanto el conjunto $\mathbb{R}^n$ puede verse como un espacio vectorial (de nuevo nombramos al espacio vectorial $(\mathbb{R},\mathbb{R}^n)$ simplemente $\mathbb{R}^n$).


En este ejemplo vamos a salirnos de lo convencional un poquito para mostrar como realmente un espacio vectorial no siempre es algo relacionado con vectores (en su significado más literal o visual). Vamos a considerar el conjunto siguiente: $$S_0 = \left\lbrace \lbrace a_n \rbrace_{n=1}^{\infty} \subset \mathbb{R}: \ \ \ \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \right\rbrace $$el conjunto de sucesiones de números reales cuyo límite es $0$ cuando $n \to \infty.$ Heurísticamente podemos pensar que la suma y el producto por un número real siguen proporcionándonos sucesiones de números reales cuyo límite es $0.$ Vamos a comprobar que $(\mathbb{R},S_0)$ es un espacio vectorial.

Ya sabemos que $\mathbb{R}$ es un cuerpo. Vamos a ver que $(S_0,+)$ es un grupo abeliano. Sin duda, al sumar sucesiones (sumando $\lbrace a_n \rbrace + \lbrace b_n \rbrace =\lbrace a_n+b_n \rbrace$) convergentes y con límite $0,$ al ser el límite de la suma la suma de los límites, como vimos anteriormente, se tiene que la suma tiene límite $0$ y por tanto sigue estando en $S_0,$ luego la suma es cerrada en $S_0.$ También en $S_0$ hay un elemento neutro: la sucesión constantemente $0.$ El opuesto de la sucesión $\lbrace a_n \rbrace$ es $\lbrace -a_n \rbrace,$ que está en $S_0$ puesto que si $a_n$ tiende a $0$ entonces $-a_n$ tiende a $-0=0.$ Por último la suma de sucesiones es asociativa y conmutativa por serlo la suma en $\mathbb{R}.$ Por todas estas razones, $(S_0,+)$ es un grupo abeliano (hemos ido comprobando las $5$ propiedades que dimos al principio).

Falta comprobar ahora los $4$ puntos que aparecen en la definición de espacio vectorial. Si definimos $\varphi$ como $\lambda \lbrace a_n \rbrace = \lbrace \lambda \cdot a_n \rbrace$ entonces comprobar los $4$ puntos se hace una tarea de escritura trivial. Vamos a hacer las comprobaciones de una manera no detallada:
  • La operación $\varphi$ tiene su imagen en $S_0$ (esta propiedad no la hemos comprobado en los anteriores ejemplos pues era trivial, pero en este merece la pena echarle un vistazo). Sin duda, si $\lbrace a_n \rbrace$ tiende a $0$ y $\lambda \in \mathbb{R}$ entonces $\lbrace \lambda a_n \rbrace$ tiende a $\lambda \cdot 0 = 0$ luego $\lambda \lbrace a_n \rbrace \in S_0.$
  • El número real $1$ es el neutro: $1 \lbrace a_n \rbrace = \lbrace 1 \cdot a_n \rbrace = \lbrace a_n \rbrace.$
  • Para $\lambda, \mu \in \mathbb{R}$ y $\lbrace a_n \rbrace \in S_0:$ $$\lambda (\mu \lbrace a_n \rbrace) = \lbrace  \lambda \mu a_n \rbrace = (\lambda \mu) \lbrace a_n \rbrace.$$
  • Para $\lambda \in \mathbb{R}$ y $\lbrace a_n \rbrace, \lbrace b_n \rbrace \in S_0:$ $$ \lambda \left(\lbrace a_n \rbrace + \lbrace b_n \rbrace \right) = \lbrace \lambda a_n + \lambda b_n \rbrace = \lambda \lbrace  a_n \rbrace + \lambda \lbrace  b_n \rbrace.$$
  • Para $\lambda, \mu \in \mathbb{R}$ y $\lbrace a_n \rbrace \in S_0:$ $$ (\lambda + \mu) \lbrace a_n \rbrace = \lambda \lbrace a_n \rbrace + \mu \lbrace a_n \rbrace.$$
Por lo tanto $(\mathbb{R},S_0)$ es un espacio vectorial y podemos interpretar las sucesiones de $S_0$ como vectores. Sin embargo este espacio vectorial es muy distinto de los dos que hemos visto en los anteriores ejemplos, como veremos más adelante.


En ocasiones nos referimos a los espacios vectoriales como los pares $(K,G)$ o simplemente decimos que $G$ es un $K-$espacio vectorial ($K-$e.v.). Además, indicaremos los elementos del cuerpo mediante letras griegas y los elementos del grupo mediante letras latinas y utilizaremos el símbolo $\cdot$ para referirnos al producto del grupo y la aplicación $\varphi$ indistintamente. No es difícil identificar la situación en la que se está utilizando cada uno de ellos, ya que si se operan dos elementos del cuerpo aparecerán dos letras griegas, y si se opera un elemento del cuerpo con uno del grupo aparecerá una griega y otra latina.
$\text{Not.}$ Vamos a denotar $0_E$ al elemento neutro respecto de la suma en $E,$ $0_K$ al elemento neutro respecto de la suma en $K$ y $1_K$ al elemento neutro respecto del producto en $K:$ $$\begin{align*} &0_E + u = u \\ &0_K + \lambda = \lambda \\ &1_K \cdot \lambda = \lambda \end{align*}$$
Veamos a ver algunas propiedades interesantes de los espacios vectoriales que nos van a ayudar más adelante.
$\text{Prop.}$ Sea $E$ un $K-$espacio vectorial. Se verifican:
  1. El elemento neutro respecto de la suma de vectores en $E \ (0_E)$ es único.
  2. El elemento opuesto respecto de la suma de vectores en $E$ es único.
  3. El elemento neutro respecto del producto de escalares en $K \ (1_K)$ es único.
  4. El elemento inverso respecto del producto de escalares en $K$ es único.
  5. Para todo $\lambda \in K,$ se tiene $\lambda \cdot 0_E = 0_E.$
  6. Para todo $\lambda \in K, \ u \in E,$ se tiene $-\lambda u =\lambda (-u).$
  7. Para todo $u \in E$ se tiene que $0_K \cdot u = 0_E.$

  1. Vamos a suponer que $0_E$ no fuese único: existe $0'_E$ tal que $u+0'_E=u$ para todo $u\in E.$ En este caso: $$u=u+0_E=u+0'_E$$y sumando un opuesto de $u:$ $$u-u=0_E=0'_E$$de manera que ambos neutros han de ser iguales, luego $0_E$ es único.

  2. De nuevo vamos a demostrarlo suponiendo que no fuese único. Dado $u \in E,$ digamos que hay $v,v' \in E$ tales que: $$0_E=u+v=u+v'=0_E $$entonces sumando $v:$ $$ v=v+u+v=v+u+v'=v $$luego: $$0_E+v=0_E+v' $$y se tiene que $v=v'.$

  3. Supongamos que hay otro elemento, $1'_K$ que también es neutro para el producto en $K.$ Entonces: $$\lambda \cdot 1_K = \lambda \cdot 1'_K = \lambda$$para algún $\lambda \neq 0_K.$ Consideramos $\mu$ un inverso de $\lambda$ con respecto al producto en $K:$ $$ \mu \lambda \cdot 1_K= \mu \lambda \cdot 1'_K = \mu \lambda$$luego: $$1_K \cdot  1_K = 1_K \cdot 1'_K$$y se tiene $1_K = 1'_K.$

  4. Dado $\lambda \in K$ vamos a suponer que existen $\mu, \mu' \in K$ y ambos son inversos de $\lambda$ para el producto en $K.$ Entonces: $$ \mu \lambda = \mu' \lambda = 1_K $$y haciendo el producto por $\mu:$ $$ \mu \lambda \mu = \mu' \lambda \mu = \mu $$luego: $$ \mu = \mu'.$$

  5. Podemos utilizar $0_E + u = u$ y multiplicando por $\lambda \in K$ se obtiene $\lambda 0_E + \lambda u = \lambda u$ y sumando $-\lambda u$ se llega a que $\lambda 0_E = 0_E.$

  6. Vamos a expresar $0_E=u-u.$ En ese caso tenemos: $$\lambda 0_E = \lambda (u-u)=\lambda u + \lambda(-u)$$ y por tanto: $ 0_E = \lambda u + \lambda (-u) $ y sumando $-\lambda u$ obtenemos $-\lambda u=\lambda (-u).$

  7. Expresamos $0_K = \lambda - \lambda$ y tomando un $u \in E:$ $$ 0_K u = \lambda u - \lambda u = \lambda u + \lambda (-u)=\lambda (u-u).$$ Como $u-u=0_E$ esto queda $\lambda 0_E$ y ya vimos que esto es $0_E.$


SUB-ESPACIOS VECTORIALES

Una pregunta natural que surge en este punto es si dentro de un espacio vectorial podemos tener otro espacio vectorial metido, un "subespacio", de igual manera que para los conjuntos tenemos los subconjuntos. En este caso sin embargo, nos interesa que el subespacio tenga las propiedades de un espacio vectorial, no nos vale que sea simplemente un subconjunto. Además, si está metido dentro del espacio original, sin duda debe ser un subconjunto, y por tanto va a heredar algunas propiedades del espacio original, de manera que igual podemos pedirle al subespacio que solamente cumpla unas pocas cosas.
Sin duda vamos a necesitar que el subespacio, al igual que el espacio, conste de una estructura de grupo. Esto equivale a pedir que la suma de cualesquiera elementos del subespacio siga en él. Además, como heredará las propiedades de la suma del grupo original, también será abeliano. También necesitamos pedirle que sea espacio vectorial, luego necesitaremos pedirle que la aplicación $\varphi$ aterrice dentro del subespacio. Sorprendentemente esto último, junto con saber que el subespacio está dentro del espacio original y que tiene asociado un grupo abeliano nos proporciona las condiciones que necesitamos para que $\varphi$ cumpla todas las propiedades de la definición de espacio vectorial dentro del subespacio.
Es decir, la manera razonable de definir lo que debería ser un subespacio vectorial pasa por pedir que el subespacio sea espacio vectorial y esté contenido en el original, y para eso basta pedir que la suma de los elementos del subespacio se quede en el subespacio y que el producto por un escalar de cualquier elemento del subespacio se quede también dentro del subespacio.
$\text{Def.}$ Dado $E$ un $K-$espacio vectorial y $F\subset E$ no vacío. Decimos que $F$ es un sub-espacio vectorial de $E$ si:
  1. Para todo $u,v \in F$ se tiene $u+v \in F.$
  2. Para todo $\lambda \in K$ y para todo $u \in F$ se tiene $\lambda u \in F.$
$\text{Comentario.}$ El producto por un escalar que aparece en el punto $2.$ es al que nos referimos en la definición de espacio vectorial como la operación $\varphi.$
Veamos algunos ejemplos de sub-espacios vectoriales.

Si $E$ es un $K-$espacio vectorial entonces dos sub-espacios que podemos identificar fácilmente son el propio $E,$ ya que $E \subset E$ y es espacio vectorial, y $\lbrace 0_E \rbrace,$ ya que cumple las dos condiciones para ser sub-e.v. de $E$ (y es muy sencillo comprobarlo).


Vamos a considerar como espacio vectorial $\mathbb{R}^n$, y el conjunto: $$ H=\left\lbrace x=(x_1 , \ ... \ , x_n) \in \mathbb{R}^n : \ \ a_1 x_1 + \ ... \ + a_n x_n = 0 \right\rbrace$$vamos a comprobar que es un sub-e.v. (los $a_i$ son todos números reales fijos).
  1. Si $u=(u_1, \ ... \ , u_n) \in H$ y $v=(v_1, \ ... \ , v_n) \in H,$ veamos que $u+v \in H:$ $$\begin{align*}  a_1(u_1+v_1)+ &\ ... \ + a_n(u_n+v_n) = \\ &= a_1 u_1 + a_1 v_1 + \ ... \ + a_n u_n + a_n v_n = \\ &= a_1 u_1 + \ ... + a_n u_n + a_1 v_1 + \ ... \ + a_n v_n = \\ &=0 + 0 = 0  \end{align*}$$y por tanto $u+v \in H.$

  2. Si $\lambda \in \mathbb{R}$ y $u=(u_1, \ ... \ , u_n) \in H$ entonces $\lambda u = (\lambda u_1 , \ .... \ , \lambda u_n).$ Comprobamos si $\lambda u \in H:$ $$ a_1\lambda u_1 + \ ... \ + a_n \lambda u_n = \lambda \left(a_1 u_1 + \ ... \ + a_n u_n \right) = \lambda \cdot 0 = 0$$luego $\lambda u \in H.$
Por tanto $H$ es un sub-e.v. de $\mathbb{R}^n.$ De hecho veremos más adelante que estos sub-espacios se llaman "hiperplanos". En $n=3$ este sub-espacio puede interpretarse geométricamente como un plano en el espacio tridimensional. Cuando $n=2,$ $H$ representa una recta en el plano.


De nuevo vamos a considerar el espacio vectorial del ejemplo 3 del anterior apartado, $S_0$ como un $\mathbb{R}-$espacio vectorial. Consideramos el conjunto $$F_1 = \left\lbrace \lbrace a_n \rbrace_{n=1}^{\infty} \subset \mathbb{R}: \ \ \ a_k=0 \ \ \forall k >1  \right\rbrace.$$Sin duda $F_1 \subset S_0$ pues al ser todos los términos iguales a $0$ salvo el primero, sin duda el límite de cualquier sucesión de este tipo es $0.$ Vamos a comprobar que $F_1$ es un sub-espacio vectorial de $S_0.$
  1. Sin duda si dos sucesiones están en $F_1,$ la suma también estará en $F_1$ pues su suma es $0$ en todos los términos de índice mayor que $1.$
  2. De nuevo, al ser $\lambda \cdot 0 = 0$ los términos de índice mayor que $1$ serán todos $0$ y por tanto el producto de una sucesión de $F_1$ por un escalar sigue estando en $F_1.$
Por tanto $F_1$ es un sub-espacio vectorial de $S_0.$


Por último vamos a ver que si tenemos dos sub-espacios vectoriales, entonces su intersección también es un sub-espacio vectorial. En general la unión de dos sub-espacios no es otro sub-espacio.
$\text{Prop.}$ Sea $E$ un $K-$espacio vectorial. Sean $F$ y $H$ dos subespacios vectoriales de $E.$ Entonces el conjunto $L=F \cap H$ es otro sub-espacio vectorial de $E.$

Vamos a ver que $L$ cumple las dos condiciones necesarias para ser sub-e.v.

  1. Sean $u,v \in L.$ Entonces $u,v \in F$ y también $u,v \in H.$ Por tanto $u+v \in F$ y $u+v \in H$ por ser $F$ y $H$ sub-e.v.s de $E.$ Así, $u+v \in F\cap H = L.$

  2. Sean $\lambda \in K, \ u \in L.$ Como $u \in L$ tenemos $u \in F$ y $u \in H,$ y por ser ambos sub-espacios, $\lambda u \in F$ y $\lambda u \in H.$ Por tanto $\lambda u \in F \cap H = L.$

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